Chứng minh các bất đẳng thức sau: x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
I)
a)x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
b)x^2+y^2+z^2>=2xy-2xz+2yz
c)(a^2+b^2)/2>=(a+b)^2/4
d)(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c/3)^2
II)
a)a^2+b^2/4>=ab
b)a^2+b^2+1>=ab+a+b
c)a^2+b^2+c^2+d^2+e^2>=a(b+c+d+e)
e)(a^10+b^10)(a^2+b^2)>=(a^8+b^8)(a^4+b^4)
Bài 2:
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn:
xyz=1 và 1/x+1/y+1/z<x+y+z
CMR:Có đúng một trong ba số x,y,z >1.
Bài 3:Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1. CMR:
a^3/(b+c)+b^3/(c+a)+c^3/(a+b)>=1/2
Bài 4:a,b,c,d>0 và abcd=1. Chứng minh rằng:
a^2+b^2+c^2+d^2+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)>=10