----- Nội dung dịch tự động từ ảnh ----- 16.11. Cho đường tròn \( (O; R) \) và dây AB cố định, \( AB = R\sqrt{2} \). Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi \( (C; R_1) \) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn \( (O; R) \) tại A, \( (D; R_2) \) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với \( (O; R) \) tại B. Hai đường tròn \( (C; R_1) \) và \( (D; R_2) \) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh \( OM \parallel CD \) với 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N;
c) Tìm vị trí của P để diện tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB lớn nhất.
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2009 - 2010)
