Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM // CD với 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh \( OM \parallel CD \) với các điểm \( C, D, O, M \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng một vài định nghĩa và tính chất của hình học.

### Giả thiết

- Cho đường tròn \( (O; R) \) và dây \( AB \) cố định, với \( AB = R\sqrt{2} \).
- Điểm \( P \) di động trên dây \( AB \) (khác \( A \) và \( B \)).
- Điểm \( (C; R_1) \) là đường tròn đi qua \( P \) và tiếp xúc với đường tròn \( (O; R) \) tại \( A \).
- Điểm \( (D; R_2) \) là đường tròn đi qua \( P \) và tiếp xúc với đường tròn \( (O; R) \) tại \( B \).
- Điểm \( M \) nằm trên mặt phẳng đi qua hai điểm \( C \) và \( D \).

### Chứng minh \( OM \parallel CD \):

1. **Tính chất tiếp xúc**:
- Dòng sinh ra từ điểm \( P \) nối tới điểm tiếp xúc với đường tròn là vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
- Do đó, \( OP \perp CA \) và \( OP \perp DB \).

2. **Tứ giác \( OCMP \)**:
- Ta có \( C \) và \( D \) nằm trên đường tròn đi qua \( P \), điều này tạo nên tứ giác \( OCMP \).
- Từ tính chất tứ giác, \( OM \) (đường trung bình) có thể coi như cạnh của tứ giác, trong khi \( CD \) là hai cạnh không đồng quy của nó.

3. **Sử dụng góc**:
- Ta có góc \( OPD = 90^\circ \) và góc \( OPA = 90^\circ \) (theo định nghĩa tiếp xúc).
- Do đó, góc \( OMC = OPD \) và \( OMD = OPA \).

4. **Kết luận**:
- Vì góc \( OMC \) và góc \( OMD \) cùng tạo ra các góc vuông với các cạnh \( CD \), ta có \( OM \parallel CD \).

### Kết quả
Do đó, ta đã chứng minh được \( OM \parallel CD \) với các điểm \( C, D, O, M \) cùng thuộc một đường tròn.

Mong rằng lời giải giúp bạn nắm rõ bài toán!