----- Nội dung dịch tự động từ ảnh ----- Cho nửa đường tròn \( (O; R) \). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là \( AB \), dựng các tiếp tuyến \( Ax, By \) của nửa đường tròn. Lấy một điểm \( M \) trên nửa đường tròn \( (O) \). Tiếp tuyến tại \( M \) cắt \( Ax, By \) lần lượt tại \( D, C \). Tia \( AM, BM \) kéo dài cắt \( By, Ax \) lần lượt tại \( F, E \).
a. Chứng minh: Các điểm \( D, M, O, A \) cùng nằm trên một đường tròn, các điểm \( C, M, O, B \) cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh: \( ACOD \) vuông.
c. \( D \) là trung điểm \( AE \).
d. \( \triangle CBO \sim \triangle BAE \).
e. Chứng minh: \( AD.BC = R^2, \quad AD + BC = CD \).
f. Dựng \( MH \) vuông góc với \( AB \). Chứng minh: \( AC, BD \) đi qua trung điểm \( I \) của \( MH \).
g. Chứng minh: \( EO \) lệch.
h. Tìm vị trí điểm \( M \) để diện tích tam giác \( MHO \) lớn nhất.
i. Tìm vị trí điểm \( M \) để diện tích tam giác \( MAB \) lớn nhất.
j. Tìm vị trí điểm \( M \) để chu vi tam giác \( MAB \) lớn nhất.
k. Tìm vị trí điểm \( M \) để diện tích tích hợp tam giác \( ABCD \) nhỏ nhất.
l. Tìm vị trí điểm \( M \) để chu vi tứ giác \( ABCD \) nhỏ nhất.
