Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E ≠ M, I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. a. Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp. b. Chứng minh ∆AME, AKM đồng dạng với nhau và \(A{M^2} = AE.AK\). c. Chứng minh: \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\). d. Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt GTLN.