Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a^2 - b^2 = c^2 - a. Tính giá trị của biểu thức P = ab^2 + b^2 + c^2 - a^3 - b^3 - c^3? Giải phương trình
----- Nội dung ảnh -----
TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN I
NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (4,0 điểm).
1) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \( a^2 - b^2 = c^2 - a \).
Tính giá trị của biểu thức \( P = ab^2 + b^2 + c^2 - a^3 - b^3 - c^3 \).
2) Giải phương trình: \( \frac{x + 11}{x - 1} = \frac{10}{x} \)
Bài II (5,0 điểm).
1) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho \( x^2 + 4y^4 \) là số nguyên tố.
2) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn \( a + (a + b)^2 \) chia hết cho ab.
3) Một tấm hoa được chế tạo từ siêu thị, trong đó táo được đóng trong các thùng gói 48 kg/thùng, lê được đóng trong các thùng gói 20 kg/thùng, mận được trong hộp giấy theo 14 kg/hộp và không dùng trong các hộp giấy theo 10 kg/hộp. Biết rằng số loại hoa quả đã được đóng gói, còn số kg mận và nhó là bằng nhau. Hỏi khối lượng mỗi loại hoa quả đã được vận chuyển tới cửa hàng là bao nhiêu kg?
Bài III (3,0 điểm).
1) Một hộp chứa các quả bóng, trong đó có \( \frac{1}{7} \) số bóng có màu xanh, còn lại bóng có màu đỏ.
Sau khi thêm vào hộp 13 quả bóng (màu xanh hoặc màu đỏ) thì số quả bóng màu xanh tăng lên, tuy nhiên tỷ lệ số quả bóng màu xanh so với số bóng đỏ lại giảm đi. Hỏi số lượng quả bóng xanh là bao nhiêu?
2) Với a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \( a + b + c = 1 \), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[
Q = \frac{a^2}{a+b+c^2} + \frac{b^2}{b+c+a^2} + \frac{c^2}{c+a+b^2}
\]
Bài IV (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A \( (AB \perp AC) \), đường cao H từ A xuống BC \( (với E \in AC, F \in AB) \). Gọi I là giao điểm của AH và EF. Đường thẳng qua A song song với BI cắt BC tại K.
1) Chứng minh \( BH = BK \) và \( BA^2 = BK \cdot BC \).
2) Bài cắt AC tại P, C cắt AB tại Q. Chứng minh \( \frac{PA}{PC} \cdot \frac{BC}{QB} = 1 \).
3) Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của EF với BC. Kẻ HJ ⊥ AN (J ∈ AN). Chứng minh I là trung điểm của AMN và BJ ⊥ CJ.
Bài V (2,0 điểm).
1) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Trong các số hình thành, hãy tìm số được chứa hai chữ số khác nhau.
2) Chia 20 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 thành hai nhóm như sau:
Nhóm 1: Gồm các số chẵn.
Nhóm 2: Gồm các số lẻ.
a) Tính giá trị r lớn nhất của n.
b) Tìm giá trị lớn nhất của n.
--------------
Lưu ý: Tình hình KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi kháng lạ.
Họ và tên thí sinh: _______________________
Số báo danh: ____________________________
TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN I
NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (4,0 điểm).
1) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \( a^2 - b^2 = c^2 - a \).
Tính giá trị của biểu thức \( P = ab^2 + b^2 + c^2 - a^3 - b^3 - c^3 \).
2) Giải phương trình: \( \frac{x + 11}{x - 1} = \frac{10}{x} \)
Bài II (5,0 điểm).
1) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho \( x^2 + 4y^4 \) là số nguyên tố.
2) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn \( a + (a + b)^2 \) chia hết cho ab.
3) Một tấm hoa được chế tạo từ siêu thị, trong đó táo được đóng trong các thùng gói 48 kg/thùng, lê được đóng trong các thùng gói 20 kg/thùng, mận được trong hộp giấy theo 14 kg/hộp và không dùng trong các hộp giấy theo 10 kg/hộp. Biết rằng số loại hoa quả đã được đóng gói, còn số kg mận và nhó là bằng nhau. Hỏi khối lượng mỗi loại hoa quả đã được vận chuyển tới cửa hàng là bao nhiêu kg?
Bài III (3,0 điểm).
1) Một hộp chứa các quả bóng, trong đó có \( \frac{1}{7} \) số bóng có màu xanh, còn lại bóng có màu đỏ.
Sau khi thêm vào hộp 13 quả bóng (màu xanh hoặc màu đỏ) thì số quả bóng màu xanh tăng lên, tuy nhiên tỷ lệ số quả bóng màu xanh so với số bóng đỏ lại giảm đi. Hỏi số lượng quả bóng xanh là bao nhiêu?
2) Với a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \( a + b + c = 1 \), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[
Q = \frac{a^2}{a+b+c^2} + \frac{b^2}{b+c+a^2} + \frac{c^2}{c+a+b^2}
\]
Bài IV (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A \( (AB \perp AC) \), đường cao H từ A xuống BC \( (với E \in AC, F \in AB) \). Gọi I là giao điểm của AH và EF. Đường thẳng qua A song song với BI cắt BC tại K.
1) Chứng minh \( BH = BK \) và \( BA^2 = BK \cdot BC \).
2) Bài cắt AC tại P, C cắt AB tại Q. Chứng minh \( \frac{PA}{PC} \cdot \frac{BC}{QB} = 1 \).
3) Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của EF với BC. Kẻ HJ ⊥ AN (J ∈ AN). Chứng minh I là trung điểm của AMN và BJ ⊥ CJ.
Bài V (2,0 điểm).
1) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Trong các số hình thành, hãy tìm số được chứa hai chữ số khác nhau.
2) Chia 20 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 thành hai nhóm như sau:
Nhóm 1: Gồm các số chẵn.
Nhóm 2: Gồm các số lẻ.
a) Tính giá trị r lớn nhất của n.
b) Tìm giá trị lớn nhất của n.
--------------
Lưu ý: Tình hình KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi kháng lạ.
Họ và tên thí sinh: _______________________
Số báo danh: ____________________________