Cho biểu thức A. Rút gọn biểu thức A

Cho các số thực a,b,c ≠ 0 thỏa mãn các điều kiện a⁷ + b⁵ = 2c³ , b⁷ + c⁵ = 2a³ , c⁷ + a⁵ 2b³ . Tính giá trị biểu thức P = 1/a²⁰²⁴ + 1/b²⁰²⁴ + 1/c²⁰²⁴ .
----- Nội dung ảnh -----
**ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYẾN HỌC SINH GIỎI**
**Môn kiểm tra: Toán**
**Ngày thi: 24/09/2024**
**Thời gian làm bài: 120 phút**
**(Không tính thời gian phát đề)**

**Câu 1. (5,0 điểm)**
1. Cho biểu thức $A = \frac{x}{-3 - 3 + \frac{5}{3} + 9}$ với $x \neq -3$.
a) Rút gọn biểu thức $A$;
b) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên không vượt quá 2.
c) Cho các số thực $a, b, c$ khác 0 thoả mãn đồng thời các điều kiện $a + b = 2c$,
$b^2 + c^2 = 2a^2$. Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{a^2}{b+c}$.

**Câu 2. (4.0 điểm)**
1. Giải phương trình sau: $\left( \frac{x}{2 + 2} \right) = 3x^2 + 10x + 5$.
2. Cho $a, b$ là các số nguyên dương lớn hơn 1, $a < b$ thỏa mãn $b - 1$ chia hết cho $a - 1$.
Gọi $c$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$. Chứng minh rằng $c \leq b - 1$.

**Câu 3. (4.0 điểm)**
1. Cho ba số tự nhiên $a, b, c$ thoả mãn $a - b$ là số nguyên tố và $2b = a + 2c$.
Chứng minh rằng: $20c + 1$ là số chính phương.
2. Với các số thực $a, b, c$ có $3$ và $a + b + c = 5$.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = ab + bc + ca$;
b) Tìm giá trị lớn nhất của $B = a + b + c$.

**Câu 4. (6.0 điểm)**
1. Cho hình thang $ABCD, AB || CD$ tại $O$. Giả sử các đoạn thẳng $AO$ và $BO$ cắt tại $E$; $CE$ là BD tại $F$.
a) Kẻ $AX \perp BD$ tại $F$; chứng minh rằng $XY || EF$.
b) Kẻ $AOB = OEB$; chứng minh rằng $AO$ và $BO$ là trung điểm của HK.
c) Chứng minh rằng $OM = DC$.

**Câu 5. (5.0 điểm)**
1. Cho tam giác $ABC$ và diện tích trong mặt phẳng bất kỳ tam giác tâm giác $ABC$.
a) Chứng minh rằng tổng hai cạnh $AB + AC$ lớn hơn hoặc bằng $BC$ từ một số dương.
b) Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh rằng tạo ra ba điểm khác nhau cộng lại bằng một điểm.