Cho biểu thức A. Rút gọn biểu thức A
Cho các số thực a,b,c ≠ 0 thỏa mãn các điều kiện a⁷ + b⁵ = 2c³ , b⁷ + c⁵ = 2a³ , c⁷ + a⁵ 2b³ . Tính giá trị biểu thức P = 1/a²⁰²⁴ + 1/b²⁰²⁴ + 1/c²⁰²⁴ .
----- Nội dung ảnh -----
**ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYẾN HỌC SINH GIỎI**
**Môn kiểm tra: Toán**
**Ngày thi: 24/09/2024**
**Thời gian làm bài: 120 phút**
**(Không tính thời gian phát đề)**
**Câu 1. (5,0 điểm)**
1. Cho biểu thức \( A = \frac{x}{-3 - 3 + \frac{5}{3} + 9} \) với \( x \neq -3 \).
a) Rút gọn biểu thức \( A \);
b) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên không vượt quá 2.
c) Cho các số thực \( a, b, c \) khác 0 thoả mãn đồng thời các điều kiện \( a + b = 2c \),
\( b^2 + c^2 = 2a^2 \). Tính giá trị của biểu thức: \( P = \frac{a^2}{b+c} \).
**Câu 2. (4.0 điểm)**
1. Giải phương trình sau: \( \left( \frac{x}{2 + 2} \right) = 3x^2 + 10x + 5 \).
2. Cho \( a, b \) là các số nguyên dương lớn hơn 1, \( a < b \) thỏa mãn \( b - 1 \) chia hết cho \( a - 1 \).
Gọi \( c \) là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \). Chứng minh rằng \( c \leq b - 1 \).
**Câu 3. (4.0 điểm)**
1. Cho ba số tự nhiên \( a, b, c \) thoả mãn \( a - b \) là số nguyên tố và \( 2b = a + 2c \).
Chứng minh rằng: \( 20c + 1 \) là số chính phương.
2. Với các số thực \( a, b, c \) có \( 3 \) và \( a + b + c = 5 \).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = ab + bc + ca \);
b) Tìm giá trị lớn nhất của \( B = a + b + c \).
**Câu 4. (6.0 điểm)**
1. Cho hình thang \( ABCD, AB || CD \) tại \( O \). Giả sử các đoạn thẳng \( AO \) và \( BO \) cắt tại \( E \); \( CE \) là BD tại \( F \).
a) Kẻ \( AX \perp BD \) tại \( F \); chứng minh rằng \( XY || EF \).
b) Kẻ \( AOB = OEB \); chứng minh rằng \( AO \) và \( BO \) là trung điểm của HK.
c) Chứng minh rằng \( OM = DC \).
**Câu 5. (5.0 điểm)**
1. Cho tam giác \( ABC \) và diện tích trong mặt phẳng bất kỳ tam giác tâm giác \( ABC \).
a) Chứng minh rằng tổng hai cạnh \( AB + AC \) lớn hơn hoặc bằng \( BC \) từ một số dương.
b) Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh rằng tạo ra ba điểm khác nhau cộng lại bằng một điểm.
----- Nội dung ảnh -----
**ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYẾN HỌC SINH GIỎI**
**Môn kiểm tra: Toán**
**Ngày thi: 24/09/2024**
**Thời gian làm bài: 120 phút**
**(Không tính thời gian phát đề)**
**Câu 1. (5,0 điểm)**
1. Cho biểu thức \( A = \frac{x}{-3 - 3 + \frac{5}{3} + 9} \) với \( x \neq -3 \).
a) Rút gọn biểu thức \( A \);
b) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên không vượt quá 2.
c) Cho các số thực \( a, b, c \) khác 0 thoả mãn đồng thời các điều kiện \( a + b = 2c \),
\( b^2 + c^2 = 2a^2 \). Tính giá trị của biểu thức: \( P = \frac{a^2}{b+c} \).
**Câu 2. (4.0 điểm)**
1. Giải phương trình sau: \( \left( \frac{x}{2 + 2} \right) = 3x^2 + 10x + 5 \).
2. Cho \( a, b \) là các số nguyên dương lớn hơn 1, \( a < b \) thỏa mãn \( b - 1 \) chia hết cho \( a - 1 \).
Gọi \( c \) là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \). Chứng minh rằng \( c \leq b - 1 \).
**Câu 3. (4.0 điểm)**
1. Cho ba số tự nhiên \( a, b, c \) thoả mãn \( a - b \) là số nguyên tố và \( 2b = a + 2c \).
Chứng minh rằng: \( 20c + 1 \) là số chính phương.
2. Với các số thực \( a, b, c \) có \( 3 \) và \( a + b + c = 5 \).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = ab + bc + ca \);
b) Tìm giá trị lớn nhất của \( B = a + b + c \).
**Câu 4. (6.0 điểm)**
1. Cho hình thang \( ABCD, AB || CD \) tại \( O \). Giả sử các đoạn thẳng \( AO \) và \( BO \) cắt tại \( E \); \( CE \) là BD tại \( F \).
a) Kẻ \( AX \perp BD \) tại \( F \); chứng minh rằng \( XY || EF \).
b) Kẻ \( AOB = OEB \); chứng minh rằng \( AO \) và \( BO \) là trung điểm của HK.
c) Chứng minh rằng \( OM = DC \).
**Câu 5. (5.0 điểm)**
1. Cho tam giác \( ABC \) và diện tích trong mặt phẳng bất kỳ tam giác tâm giác \( ABC \).
a) Chứng minh rằng tổng hai cạnh \( AB + AC \) lớn hơn hoặc bằng \( BC \) từ một số dương.
b) Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh rằng tạo ra ba điểm khác nhau cộng lại bằng một điểm.