Chứng minh Hai số lẻ liên tiếp có dạng \(2n+1\) và \(2n+3\) (n ∈ ℕ) Gọi \(d\) là ước số chung của chúng. Ta có \(2n+1:d, 2n+3:d\) Nên \((2n+3)-(2n+1):d \Rightarrow 2:d\) nhưng \(d\) không thể bằng 2 vì \(d\) là ước chung 2 số lẻ vậy \(d = 1\) tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau. Bài 3.1. Chứng minh rằng hai số \(2n + 5\) và \(3n + 7\) nguyên tố cùng nhau (n ∈ ℕ) Lời giải Giả sử: \((2n + 5; 3n + 7) = d\) \(2n + 5:d = 6n + 15:d\) \(3n + 7:d = 6n + 14:d\) ⇒ \((6n + 15) - (6n + 14):d \Rightarrow 1:d = 1\) Vậy \(2n + 5\) và \(3n + 7\) nguyên tố cùng nhau. Bài 3.2. Chứng minh rằng số \(2n + 1\) và \(6n + 5\) nguyên tố cùng nhau (n ∈ ℕ) Bài 3.3. Chứng tỏ rằng \(6n + 5\) và \(2n + 1\) nguyên tố cùng nhau