Cho chuỗi: \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{1}{n} \left( \sqrt{n!} - 1 \right). \]

cần gấppp
----- Nội dung ảnh -----
Cho chuỗi:

\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{1}{n} \left( \sqrt{n!} - 1 \right). \]

1. Chứng minh chuỗi hội tụ.
2. Tìm giá trị của

\[ L = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \left( \sqrt{n!} - 1 \right). \]

3. Chứng minh rằng chuỗi có thể viết dưới dạng:

\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \exp \left( \frac{\ln(n!)}{n} \right) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}. \]

4. Chứng minh chuỗi hội tụ và ước tính tốc độ hội tụ.