Xét hàm: \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x^n}{n} - \frac{x^{2n}}{2n} \right), \, |x| < 1. \)

help me
----- Nội dung ảnh -----
Xét hàm:

\( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x^n}{n} - \frac{x^{2n}}{2n} \right), \, |x| < 1. \)

1. Chứng minh chuỗi biểu diễn \( f(x) \) hội tụ trên mọi đoạn \( [-r, r] \) với \( 0 < r < 1 \).

2. Tìm công thức tường minh của \( f(x) \).

3. Tính giới hạn:
\( L = \lim_{x \to 1^{-}} \left( f(x) + \frac{1}{2} \ln(1 - x) \right). \)

4. Chứng minh rằng giới hạn trên tồn tại, hữu hạn, và liên quan đến hằng số Euler–Mascheroni.

5. Tìm xấp xỉ của \( f(x) \) gần 1 đến bậc \( O\left( (1 - x) \ln(1 - x) \right). \)