Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi: \(x_1 = 1, \\ x_{n+1} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{x_k}, \quad n \geq 1.\)

----- Nội dung ảnh -----
Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi:

\(x_1 = 1, \\
x_{n+1} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{x_k}, \quad n \geq 1.\)

1. Chứng minh rằng \((x_n)\) hội tụ.
2. Tìm giới hạn \(L = \lim_{n \to \infty} x_n\).
3. Chứng minh tốc độ hội tụ thỏa:

\(x_n - L = \Theta\left(\frac{1}{n}\right).\)

4. Chứng minh rằng \(L\) là nghiệm duy nhất của phương trình:

\(L = \sqrt{L}.\)