Xét hàm: \[ F(x) = \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - 1}{\ln t} \, dt, \quad x > -1. \]

----- Nội dung ảnh -----
Xét hàm:

\[
F(x) = \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - 1}{\ln t} \, dt, \quad x > -1.
\]

1. Chứng minh tích phân xác định \(F(x)\) hội tụ và \(F(x)\) có đạo hàm mọi cấp trên miền \((-1, \infty)\).
2. Chứng minh rằng:

\[
F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n \cdot n!}.
\]

3. Tính giá trị giới hạn:

\[
L = \lim_{x \to \infty} \left( F(x) - \ln x - \gamma \right),
\]

trong đó \(\gamma\) là hàng số Euler-Mascheroni.

4. Chứng minh rằng \(L\) tồn tại, hữu hạn, và biểu diễn được dưới dạng một chuỗi hội tụ nhanh:

\[
L = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \cdot k!}.
\]