Cho số thực \( a > 0 \). Xét tất cả các dãy \( (x_n)_{n \geq 1} \) thoả mãn

----- Nội dung ảnh -----
Cho số thực \( a > 0 \). Xét tất cả các dãy \( (x_n)_{n \geq 1} \) thoả mãn:

1. \( x_n > 0 \) với mọi \( n \).
2. \( \sum_{n=1}^{\infty} x_n = a \).
3. Đặt

\[
F(x_1, x_2, \ldots) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n^2}{n}.
\]

Yêu cầu:

1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tối ưu \( (x^*_n) \) sao cho

\[
F(x^*_1, x^*_2, \ldots) = \inf F.
\]

2. Chứng minh dãy tối ưu thoả hệ thức Euler–Lagrange rồi ra rằng

\[
\frac{2x_n}{n} = \lambda_n, \quad n \geq 1,
\]

với \( \lambda > 0 \) là hằng số Lagrange.