Cho hàm
Bài cuối a
----- Nội dung ảnh -----
Cho hàm \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) liên tục, khả tích trên \( \mathbb{R} \), thỏa:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{1+t^2} dt < +\infty,
\]
và xét tích phân Fourier:
\[
F(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-itx}}{1+t^2} dt.
\]
Giả sử \( F(x) \) thỏa phương trình hàm:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} F(nx) = \pi, \quad x > 0.
\]
YÊU CẦU
1. Chứng minh rằng tích phân (*) hội tụ tuyệt đối và \( F(x) \) xác định duy nhất.
2. Chứng minh \( F(x) \) khác ri và vô hạn trên \( (0, +\infty) \).
3. Sử dụng biến đổi Fourier, tìm biểu thức tương ứng của \( f(t) \).
----- Nội dung ảnh -----
Cho hàm \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) liên tục, khả tích trên \( \mathbb{R} \), thỏa:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{1+t^2} dt < +\infty,
\]
và xét tích phân Fourier:
\[
F(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{e^{-itx}}{1+t^2} dt.
\]
Giả sử \( F(x) \) thỏa phương trình hàm:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} F(nx) = \pi, \quad x > 0.
\]
YÊU CẦU
1. Chứng minh rằng tích phân (*) hội tụ tuyệt đối và \( F(x) \) xác định duy nhất.
2. Chứng minh \( F(x) \) khác ri và vô hạn trên \( (0, +\infty) \).
3. Sử dụng biến đổi Fourier, tìm biểu thức tương ứng của \( f(t) \).