Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N

1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.

a. Chứng minh ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN.

b. Chứng tỏ OM là tiếp tuyến của (I) và B,M,D thẳng hàng.

c. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh BMOE là hình bình hành.

2.Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) ( A là tiếp điểm). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 2R. Qua C vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa C và E; đường thẳng này cũng cắt đoạn thẳng OB). Gọi H là trung điểm đoạn thẳng DE.

       a)  Chứng minh: <!--[if gte vml 1]> <!--[endif]--><!--[if gte mso 9]--><xml> </xml><![endif]-->.                   

       b)  Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp.     

        c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: O là trung điểm đoạn thẳng MN. 

3. Cho đường tròn (O) đường kính CD. Kẻ tiếp tuyến từ một điểm G thuộc đường tròn (O) cắt 2 tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) lần lượt tại E và F. Kẻ GK ^ CD ( K Î CD). Gọi P là giao điểm của CG và OE, Q là giao điểm của DG và OF. Gọi I là giao của GK và ED

a) Chứng minh 4 điểm C,E,G,O cùng nằm trên một đường tròn .

b)Tứ giác GPOQ là hình gì ? Vì sao ?

c) So sánh GI và IK

4. Cho đường tròn tâm O với dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’.

  a) Chứng minh rằng tứ giác ABHE là tứ giác nội tiếp.

  b) Chứng minh rẳng: HE.AC = HF.AB

  c) Khi A di chuyển, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định.