Cho tam giác ABC vuông ở C có AC = 9cm, AB = 15cm. Từ trung điểm M của AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác AQM
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở C có AC = 9cm, AB = 15cm. Từ trung điểm M của AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC và AC lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh: tam giác ABC ~ tam giác AQM. Từ đó suy ra AB^2 = 2.AC.AQ
b) Tính PB
c) Tia AP cắt BQ tại N. Chứng minh CN//AB
d) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C: CA < CB. Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC tại C cắt Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: tam giác CAI ~ tam giác CBN
b) Chứng minh: tam giác ABC ~ tam giác INC
c) Chứng minh góc MIN = 90 độ
d) Tìm vj trí của điểm I để diện tích tam giác IMN = 2.diện tích tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao BD (D thuộc AC). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và BC.
a) Chứng minh BD^2 = BH.BA
b) Chứng minh: BD^2 = BK.BC
c) Chứng minh: tam giác BHK ~ tam giác BCA
d) Tia phân giác góc BDC cắt BC tại I. Biết IB/IC = 4/3. Hãy xác định tỉ số KB/KC
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BH và CK cắt nhau ở O. Trên Ob và OC lấy D và E sao cho góc ADC = góc BEA = 90 độ. Chứng minh:
a) AH.AC = AK.AB
b) Tam giác AHK ~ tam giác ABC
c) AD^2 = AH.AC
d) Tam giác ADE cân
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng d đi qua D cắt AB ở M, cắt BC ở N, cắt AC ở I.
a) Chứng minh: AM/AB = CB/CN = DM/DN. Từ đó suy ra AM.CN không đổi
b) Chứng minh: ID^2 = IM.IN
c) Vẽ Bx//AC, Bx cắt d tại E. Chứng minh EM/EN = DM/DN
Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) BD.AE = AD.CE
b) Tam giác ADE ~ tam giác ABCABC
c) Cấc đường thẳng vuông góc với AB tại B và AC tại C cắt nhau ở D'. Chứng minh BHCD' là hình bình hành
d) Tìm điều kiện của tam giác ABc để ba điểm A, H, D' thẳng hànghàng
Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A tù. Ba đường cao của tam giác là AM, BP, CN cắt nhau tại H (M thuộc BC, N thuộc tia BA, P thuộc tia CA)
a) Chứng minh: BM.BC = BP.BH
b) Chứng minh: tam giác PAB ~ tam giác NAC; tam giác PAN ~ tam giác BAC
c) Chứng minh: NA là tia phân giác của góc PNM
d) Gọi S là diện tích của tam giác BHC. Hãy tính: BC.AH + AB.CH + AC.BH theo S
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 5cm; AC = 12cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài BC và DE
b) Chứng minh: tam giác ADE ~ tam giác ACB
c) Đường thẳng vuông góc với DE tại DD và E cắt BC tại M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
d) Chứng minh rằng: BN^2 - CN^2 = AB^2
Bài 9: Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD/DC = 1/2. Qua D vẽ đường thẳng song song vơi AB cắt AC tại E, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F. Cho M là trung điểm AC
a) So sánh BF/AB và AE/AC.
b) Chứng minh: EF//Bm
c) Giả sử BD/DC = k, tìm k để EF//DC
Bài 10: Chu vi tam giác ABC cân tại A là 80cm. Đường phân giác góc A và B cắt nhau tại I, AI cắt BC tại D. Cho AI/ID = 4/3. Tính các cạnh của tam giác ABC
a) Chứng minh: tam giác ABC ~ tam giác AQM. Từ đó suy ra AB^2 = 2.AC.AQ
b) Tính PB
c) Tia AP cắt BQ tại N. Chứng minh CN//AB
d) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C: CA < CB. Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC tại C cắt Ax, By lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh: tam giác CAI ~ tam giác CBN
b) Chứng minh: tam giác ABC ~ tam giác INC
c) Chứng minh góc MIN = 90 độ
d) Tìm vj trí của điểm I để diện tích tam giác IMN = 2.diện tích tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao BD (D thuộc AC). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và BC.
a) Chứng minh BD^2 = BH.BA
b) Chứng minh: BD^2 = BK.BC
c) Chứng minh: tam giác BHK ~ tam giác BCA
d) Tia phân giác góc BDC cắt BC tại I. Biết IB/IC = 4/3. Hãy xác định tỉ số KB/KC
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BH và CK cắt nhau ở O. Trên Ob và OC lấy D và E sao cho góc ADC = góc BEA = 90 độ. Chứng minh:
a) AH.AC = AK.AB
b) Tam giác AHK ~ tam giác ABC
c) AD^2 = AH.AC
d) Tam giác ADE cân
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng d đi qua D cắt AB ở M, cắt BC ở N, cắt AC ở I.
a) Chứng minh: AM/AB = CB/CN = DM/DN. Từ đó suy ra AM.CN không đổi
b) Chứng minh: ID^2 = IM.IN
c) Vẽ Bx//AC, Bx cắt d tại E. Chứng minh EM/EN = DM/DN
Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) BD.AE = AD.CE
b) Tam giác ADE ~ tam giác ABCABC
c) Cấc đường thẳng vuông góc với AB tại B và AC tại C cắt nhau ở D'. Chứng minh BHCD' là hình bình hành
d) Tìm điều kiện của tam giác ABc để ba điểm A, H, D' thẳng hànghàng
Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A tù. Ba đường cao của tam giác là AM, BP, CN cắt nhau tại H (M thuộc BC, N thuộc tia BA, P thuộc tia CA)
a) Chứng minh: BM.BC = BP.BH
b) Chứng minh: tam giác PAB ~ tam giác NAC; tam giác PAN ~ tam giác BAC
c) Chứng minh: NA là tia phân giác của góc PNM
d) Gọi S là diện tích của tam giác BHC. Hãy tính: BC.AH + AB.CH + AC.BH theo S
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 5cm; AC = 12cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài BC và DE
b) Chứng minh: tam giác ADE ~ tam giác ACB
c) Đường thẳng vuông góc với DE tại DD và E cắt BC tại M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
d) Chứng minh rằng: BN^2 - CN^2 = AB^2
Bài 9: Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD/DC = 1/2. Qua D vẽ đường thẳng song song vơi AB cắt AC tại E, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F. Cho M là trung điểm AC
a) So sánh BF/AB và AE/AC.
b) Chứng minh: EF//Bm
c) Giả sử BD/DC = k, tìm k để EF//DC
Bài 10: Chu vi tam giác ABC cân tại A là 80cm. Đường phân giác góc A và B cắt nhau tại I, AI cắt BC tại D. Cho AI/ID = 4/3. Tính các cạnh của tam giác ABC