Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R), đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó
Bài 1.. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R), đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh EF song song với tiếp tuyến tại A của (O; R) và AOMN là hình bình hành.
c) Giả sử B và C cố định trên (O; R), chứng minh bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC không đổi khi A chuyển động trên cung lớn BC.
Bài 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O).
a. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b. Chứng minh MC.MD = MA2.
c. Đường thẳng MO cắt AB tại H và cắt (O) tại I, K (I nằm giữa M và K). Chứng minh CK là phân giác của góc DCH.
Bài 3 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B là tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại hai điểm N và Q (N nằm giữa M và Q). Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của BN và AM; I là hình chiếu của A trên BM.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHIM nội tiếp và tìm tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng MA2 = MN . MQ.
c) Khi K là trung điểm của AM, chứng minh ba điểm A, N, I thẳng hàng.
Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F, AM cắt OE tại P. Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).
a)Chứng minh tứ giác AEMO và tứ giác MPHO nội tiếp.
b) Gọi BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao?
c) Gọi K là giao điểm của MH và EB. Chứng minh MK = KH.
Bài 5 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB< AC, d không đi qua tâm O)
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 6. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A không qua O cắt đường tròn (O) lần lượt tại hai điểm D và E (AD < AE).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AD.AE.
c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I, K. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q.
Chứng minh rằng IP + KQ <!--[if gte vml 1]> <v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" height:12pt'="" o:ole=""> <xml> </xml><![endif]--> PQ
Bài 7 Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA; MB đến đường tròn (A; B là các tiếp điểm; C nằm giữa M và D).
a) Chứng minh MA2 = MC. MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn . Suy ra AB là đường phân giác góc CHD.
d) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại K. Chứng minh ba điểm A; B; K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC (M ¹ A; C). Hạ MH ^ AB tại H, tia MB cắt CA tại E, kẻ EI ^ AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHKC là tứ giác nội tiếp;
b) AK.AC = AM2;
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên cung AC;
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA (M ≠ B), vẽ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AB và I là giao điểm của CD và OM.
a) Chứng minh 5 điểm O, E, C, D, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: MI . MO = MB . MA
c) Đường thẳng d’ đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại G và H. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MGH bé nhất.
Bài 10. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M.
a. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp ;
b. Gọi I là giao điểm của DO và BC. Chứng minh OH.OA = OI.OD ;
c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 11 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
b) Chứng minh OI.OM = R2;
c) Chứng minh OAHB là hình thoi. Khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào ?
Bài 12 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP không đi qua O. Gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
a) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh OI.OM + MN. MP = MO2
c) Kẻ AC ^ MB tại C, gọi H là giao điểm của AC và OM. Khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào ?
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh :
a) CE.CB = CD.CF.
b) Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp.
c) AC // FG.
Bài 14 Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O,các đường cao QM, RN của tam giác cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác QRMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b/ Kéo dài PO cắt đường tròn O tại K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành.
c/ Cho cạnh QR cố định, P thay đổi trên cung lớn QR sao cho tam giác PQR luôn nhọn.Xác định vị trí điểm P để diện tích tam giác QRH lớn nhất.
Bài 15 Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh tứ giác ADOM nội tiếp.
b) Chứng minh AB // EM.
c) EM cắt AD và BC theo thứ tự ở H và K. Chứng minh <!--[if gte vml 1]> <xml> </xml><![endif]-->
Bài 16 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh EF song song với tiếp tuyến tại A của (O; R) và AOMN là hình bình hành.
c) Giả sử B và C cố định trên (O; R), chứng minh bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC không đổi khi A chuyển động trên cung lớn BC.
Bài 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O).
a. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b. Chứng minh MC.MD = MA2.
c. Đường thẳng MO cắt AB tại H và cắt (O) tại I, K (I nằm giữa M và K). Chứng minh CK là phân giác của góc DCH.
Bài 3 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B là tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại hai điểm N và Q (N nằm giữa M và Q). Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của BN và AM; I là hình chiếu của A trên BM.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHIM nội tiếp và tìm tâm của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng MA2 = MN . MQ.
c) Khi K là trung điểm của AM, chứng minh ba điểm A, N, I thẳng hàng.
Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F, AM cắt OE tại P. Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).
a)Chứng minh tứ giác AEMO và tứ giác MPHO nội tiếp.
b) Gọi BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao?
c) Gọi K là giao điểm của MH và EB. Chứng minh MK = KH.
Bài 5 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB< AC, d không đi qua tâm O)
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 6. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A không qua O cắt đường tròn (O) lần lượt tại hai điểm D và E (AD < AE).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AD.AE.
c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I, K. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q.
Chứng minh rằng IP + KQ <!--[if gte vml 1]>
Bài 7 Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA; MB đến đường tròn (A; B là các tiếp điểm; C nằm giữa M và D).
a) Chứng minh MA2 = MC. MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn . Suy ra AB là đường phân giác góc CHD.
d) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tại K. Chứng minh ba điểm A; B; K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC (M ¹ A; C). Hạ MH ^ AB tại H, tia MB cắt CA tại E, kẻ EI ^ AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHKC là tứ giác nội tiếp;
b) AK.AC = AM2;
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên cung AC;
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA (M ≠ B), vẽ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AB và I là giao điểm của CD và OM.
a) Chứng minh 5 điểm O, E, C, D, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: MI . MO = MB . MA
c) Đường thẳng d’ đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại G và H. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MGH bé nhất.
Bài 10. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M.
a. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp ;
b. Gọi I là giao điểm của DO và BC. Chứng minh OH.OA = OI.OD ;
c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 11 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
b) Chứng minh OI.OM = R2;
c) Chứng minh OAHB là hình thoi. Khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào ?
Bài 12 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP không đi qua O. Gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
a) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh OI.OM + MN. MP = MO2
c) Kẻ AC ^ MB tại C, gọi H là giao điểm của AC và OM. Khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm H chuyển động trên đường nào ?
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh :
a) CE.CB = CD.CF.
b) Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp.
c) AC // FG.
Bài 14 Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O,các đường cao QM, RN của tam giác cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác QRMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b/ Kéo dài PO cắt đường tròn O tại K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành.
c/ Cho cạnh QR cố định, P thay đổi trên cung lớn QR sao cho tam giác PQR luôn nhọn.Xác định vị trí điểm P để diện tích tam giác QRH lớn nhất.
Bài 15 Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh tứ giác ADOM nội tiếp.
b) Chứng minh AB // EM.
c) EM cắt AD và BC theo thứ tự ở H và K. Chứng minh <!--[if gte vml 1]>
Bài 16 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.