Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2. Chứng minh rằng a = b = c
Bài 3. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2. Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 4 (Chuyên Hà Tĩnh 2024). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 và a^2 + b^2 + c^2 = 12. Tính giá trị của biểu thức
P = (a− 3)^2024 + (b− 3)^2024 + (c− 3)^2024.
Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức
a) 3(A^2 + B^2 +C^2) = (A + B +C)^2 + (A−B)^2 + (B−C)^2 + (C −A)^2.
b) (AB + BC +CA)^2 = A^2B^2 + B^2C^2 +C^2A^2 + 2ABC(A + B +C).
c) (A−B)^4 = A^4 − 4A^3B + 6A^2B^2 − 4AB^3 + B^4.
d) (A + B)^4 + (A−B)^4 = 2(A^4 + 6A^2B^2 + B^4).
Bài 6. Tìm tất cả các cặp số thực (a, b) thỏa mãn
a) a + b = 4 và a^2 −ab + b^2 = 4. b) a + b = 2 và a^3 + ab + b^3 = 3.
Bài 7 (Tạp chí Toán Tuổi Thơ). Tìm tất cả các cặp số thực dương (x, y) thỏa mãn
x^3 + y^3 + 4(x^2 + y^2) + 4(x + y) = 16xy.
Bài 8. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
x^3 + y^3 + 7 = (x + y + 1)^3.
Bài 9 (Chuyên Tin Hà Nội 2016). Cho các số thực a, b, c có tổng khác 0 thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức
P a^2 b^2 c^2
= b^2 + c^2 + c^2 + a^2 + a^2 + b^2 .
Bài 10. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 8(a + b + c)^3 = 6072 +(2a + b -c)^3 +(2b + c -a)^3 +(2c + a -b)^3.
Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) = 2024.