Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2. Chứng minh rằng a = b = c

Để chứng minh rằng \( a = b = c \) từ điều kiện \( 3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2 \), ta sẽ bắt đầu từ phương trình đã cho và biến đổi nó.

1. **Bắt đầu với phương trình đã cho:**
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2
\]

2. **Mở rộng vế phải:**
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]
Thay vào phương trình, ta có:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

3. **Chuyển các hạng tử về một phía:**
\[
3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - a^2 - b^2 - c^2 - 2(ab + ac + bc) = 0
\]
Tức là:
\[
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2(ab + ac + bc) = 0
\]

4. **Chia cả hai vế cho 2:**
\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc
\]

5. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]
Hay:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]
Nhưng từ điều kiện đã cho, ta có:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2
\]
Do đó, ta có:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]
và
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \leq (a + b + c)^2
\]
Điều này chỉ xảy ra khi \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc \).

6. **Kết luận:**
Khi \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc \), ta có thể viết lại như sau:
\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0
\]
Điều này chỉ xảy ra khi \( a = b = c \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu \( 3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2 \), thì \( a = b = c \).