Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI
Câu 1
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{8a}{b+c-a} + \frac{18b}{c+a-b} + \frac{32c}{a+b-c}$$

Câu 2 (1,0 điểm).
Với $x > 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A = 4x^2 - 3x + \frac{1}{4x} + 2023.$$

Câu 3 (1,0 điểm). Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4.$$
Chứng minh rằng:
$$P = \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1.$$

Câu 4 (1,0 điểm).
Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn: $x > y$ và $x^2 - 5xy + 4y^2 + 2 = 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$M = 2x^2 - 3xy + 2y^2$$
với $x - y$.

Câu 5 (1,0 điểm).
Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn: $0 \leq a \leq b \leq c \leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$Q = a^2(b-c) + b^2(c-b) + c^2(1-c).$$

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{2a + ab + 2b} + \sqrt{2b + bc + 2c} + \sqrt{2c + ca + 2a} \geq 3\sqrt{5}.$$

Câu 6 (1,0 điểm)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1} - y \sqrt{y} = \sqrt{y-1} - \sqrt{x}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$S = x^2 + 3xy - 2y^2 - 8y + 5.$$

Câu 7 (1,0 điểm).
Cho ba số thực $x > 0; y > 0; z > 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{x^3 + y^3 + z^3} + \frac{1}{y + xyz} + \frac{1}{z^3 + xyz} \leq \frac{1}{xyz}.$$

Câu 8 (1,0 điểm)
Cho $x, y$ là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$S = \frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2} + \frac{(x+y)^2}{xy}.$$

Câu 9 (1 điểm): Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = abc$.
Tìm giá trị lớn nhất của
$$P = \frac{2}{\sqrt{1 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + b^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + c^2}}.$$