Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI
Câu 1
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ P = \frac{8a}{b+c-a} + \frac{18b}{c+a-b} + \frac{32c}{a+b-c} \]

Câu 2 (1,0 điểm).
Với \( x > 0 \), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ A = 4x^2 - 3x + \frac{1}{4x} + 2023. \]

Câu 3 (1,0 điểm). Cho \( x, y, z > 0 \) thỏa mãn
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4. \]
Chứng minh rằng:
\[ P = \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq 1. \]

Câu 4 (1,0 điểm).
Cho hai số thực \( x, y \) thỏa mãn: \( x > y \) và \( x^2 - 5xy + 4y^2 + 2 = 0 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ M = 2x^2 - 3xy + 2y^2 \]
với \( x - y \).

Câu 5 (1,0 điểm).
Cho \( a, b, c \) là các số thực thỏa mãn: \( 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[ Q = a^2(b-c) + b^2(c-b) + c^2(1-c). \]

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện \( a + b + c = 3 \). Chứng minh rằng:
\[ \sqrt{2a + ab + 2b} + \sqrt{2b + bc + 2c} + \sqrt{2c + ca + 2a} \geq 3\sqrt{5}. \]

Câu 6 (1,0 điểm)
Cho \( x, y \) là các số thực thỏa mãn điều kiện: \( \sqrt{x-1} - y \sqrt{y} = \sqrt{y-1} - \sqrt{x} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ S = x^2 + 3xy - 2y^2 - 8y + 5. \]

Câu 7 (1,0 điểm).
Cho ba số thực \( x > 0; y > 0; z > 0 \). Chứng minh rằng:
\[ \frac{1}{x^3 + y^3 + z^3} + \frac{1}{y + xyz} + \frac{1}{z^3 + xyz} \leq \frac{1}{xyz}. \]

Câu 8 (1,0 điểm)
Cho \( x, y \) là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ S = \frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2} + \frac{(x+y)^2}{xy}. \]

Câu 9 (1 điểm): Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a + b + c = abc \).
Tìm giá trị lớn nhất của
\[ P = \frac{2}{\sqrt{1 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + b^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + c^2}}. \]