Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( (x+2)(2x^2 - 5x) - x^3 - 8 \)
phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x+2)(2x bình - 5)-x mũ 3 - 8
----- Nội dung ảnh -----
ĐỀ KHÁO SÁT HSG TOÁN 8 ( Ngày 24/9/2024)
( Thời gian 150 phút)
Câu 1 (4,0 điểm):
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( (x+2)(2x^2 - 5x) - x^3 - 8 \)
2) Chọn \( x, y, z \) là các số thực dương và \( 0 \) khác nhau thoả mãn:
\[
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 0.
\]
Tính giá trị của biểu thức:
\[
A = \frac{yz}{2xy} + \frac{zx}{2yz} + \frac{xy}{2zx}.
\]
3) Cho \( a, b, c, d \) là các số dương thoả mãn dạng thức: \( a^2 + b^4 = 4abcd \). Chứng minh rằng \( a = b = c = d \).
Câu 2 (4,0 điểm):
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: \( 6x^3 + 7x^2 - 6 \).
2. Tìm \( b \), sao cho \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 10x - 4 \) chia hết cho đa thức \( g(x) = x^2 - 2 \).
3. Cho \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \).
Câu 3 (5,0 điểm):
1. Cho \( a, b, c \) là 3 số nguyên dương thoả mãn: \( a^2 - (c - b)^2 = (a - c)(b - c) \). Chứng minh rằng năm 2023 \( (a + b + c) \) chia hết cho 27.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn: \( x^5 + y^5 = xyz + 1 \).
3. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn: \( y(x - 1) = x^2 + 2 \).
4. Chứng minh rằng nếu các số nguyên \( a, b \) thoả mãn \( a - 4ac \) và \( b - 4ac \).
Câu 4 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD. E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hạ DM ⊥ CE.
1. Chứng minh AM = KM
2. Gọi N là giao điểm của AK và BM. Tính số góc ANB.
3. Phân tích đồ DCE cắt cạnh AD tại F. Chứng minh DF + BE = CE.
4. Chứng minh rằng \( CF \leq 2EF \).
Câu 5 (10 điểm):
Cho các số dương \( a, b, c \) thoả mãn \( a + b + c = 1 \).
Chứng minh rằng:
\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq 4 \left( \frac{1}{a+b+c} \right) - 1.
\]
----- Nội dung ảnh -----
ĐỀ KHÁO SÁT HSG TOÁN 8 ( Ngày 24/9/2024)
( Thời gian 150 phút)
Câu 1 (4,0 điểm):
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \( (x+2)(2x^2 - 5x) - x^3 - 8 \)
2) Chọn \( x, y, z \) là các số thực dương và \( 0 \) khác nhau thoả mãn:
\[
\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 0.
\]
Tính giá trị của biểu thức:
\[
A = \frac{yz}{2xy} + \frac{zx}{2yz} + \frac{xy}{2zx}.
\]
3) Cho \( a, b, c, d \) là các số dương thoả mãn dạng thức: \( a^2 + b^4 = 4abcd \). Chứng minh rằng \( a = b = c = d \).
Câu 2 (4,0 điểm):
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: \( 6x^3 + 7x^2 - 6 \).
2. Tìm \( b \), sao cho \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 10x - 4 \) chia hết cho đa thức \( g(x) = x^2 - 2 \).
3. Cho \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \).
Câu 3 (5,0 điểm):
1. Cho \( a, b, c \) là 3 số nguyên dương thoả mãn: \( a^2 - (c - b)^2 = (a - c)(b - c) \). Chứng minh rằng năm 2023 \( (a + b + c) \) chia hết cho 27.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn: \( x^5 + y^5 = xyz + 1 \).
3. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn: \( y(x - 1) = x^2 + 2 \).
4. Chứng minh rằng nếu các số nguyên \( a, b \) thoả mãn \( a - 4ac \) và \( b - 4ac \).
Câu 4 (6 điểm):
Cho hình vuông ABCD. E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hạ DM ⊥ CE.
1. Chứng minh AM = KM
2. Gọi N là giao điểm của AK và BM. Tính số góc ANB.
3. Phân tích đồ DCE cắt cạnh AD tại F. Chứng minh DF + BE = CE.
4. Chứng minh rằng \( CF \leq 2EF \).
Câu 5 (10 điểm):
Cho các số dương \( a, b, c \) thoả mãn \( a + b + c = 1 \).
Chứng minh rằng:
\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq 4 \left( \frac{1}{a+b+c} \right) - 1.
\]