Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R)
1) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm), cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC. Lấy I là trung điểm của BC. Tia OI cắt cung nhỏ BC tại N, AN cắt BC tại D.
a) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC.
b) Chứng minh : MD^2 = MB.MC.
c) Gọi H, K là hình chiếu của N lên AB và AC. Chứng tỏ ba điểm H, I, K thẳng hàng .
2) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (BC là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC(IEAB, KEAC)
a) Chứng minh : tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn
b) Vẽ MP vuông góc với BC(PEBC). Chứng minh : góc MPK bằng gócMBC
c) Chứng minh rằng : MI.MK=MP
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
3) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC=R căn3. A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N.
a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AE.AB = AD.AC
c) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác O). Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng.
4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R=3cm. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tử giác OBDC nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết OD=5cm. Tính diện tích của tam giác BCD.
c) Kẻ đường thắng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AB.AP=AQ.AC
d) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
5) Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm 0 (C nằm giữa M và D; 0 và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Chứng minh MB²=MC.MD
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của góc CHD.