Bài 1:
a.Ta có : I là trung điểm BC →OI⊥BC
→N là điểm chính giữa cung BC
→AD là phân giác ˆBAC

b.Ta có :MA là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAB = ˆMCA →ΔMAB∼ΔMCA(g.g)→
→ MA/MC = MB/MA
→ MA^2 = MB.MC
Lại có :
MA là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAB=ˆMCA
AD là phân giác ˆBAC →ˆBAD=ˆDAC
→ ˆMDA = ˆDAC + ˆBCA = ˆBAD + ˆMAB = ˆMAB
→ΔMAD cân tại M
→ MD = MA →MD^2 = MB.MC
c.Ta có :NH⊥AH,NI⊥BC,NK⊥AC
→NHBI,NIKC,NHAK  nội tiếp
→ˆBIH=ˆBNH=90° - ˆHBN=90° −ˆNCA=ˆKNC=ˆKIC
(ˆHBN=ˆNCA cùng bù ˆABN)
ˆBIH=ˆKIC  mà chúng ở vị trí đối đỉnh B,I,C  thẳng hàng
→ H,I,K thẳng hàng

Bài 2:

a.Ta có : MI⊥AI,MK⊥AK
→^AIM+^AKM = 90° + 90° = 180°
→AIMK nội tiếp

b.Ta có :
MK⊥AC, MP⊥BC
→ tứ giác MKCP nội tiếp
→^MPK=^MCK (góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
    ^MCK=^MBC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
⇒^MPK=^MBC (đpcm)

c.Ta có : MP⊥BC,MI⊥AB
→ tứ giác MIBP nội tiếp
→^MIP=^MBC=^MPK
^MPI=^MBI=^MCB=^MKP
→ΔMIP∼ΔMPK(g.g)
→MI/MP=MP/MK
→MP^2=MI.MK

d.Từ câu c →MI.MK.MP=MP^3

Gọi AO∩(O)=D
       AO∩BC=E
→MP≤DE
→MI.MK.MP≤DE3
Dấu = xảy ra khi M≡D
​→M=AO∩(O)

Bài 3:

a.Ta có :BD⊥AC
             CE⊥AB
→ ˆBDC = ˆBEC = 90° → BEDC nội tiếp

b.Ta có :ˆAEC=ˆADB=90°
→ ΔAEC∼ΔADB (g.g)
​→ AE/AD = AC/AB
→ AE.AB = AD.AC

c.Vì AF là đường kính của (O)
→FC//BD(cùng ⊥AC)
    CE//FB(cùng ⊥AB)
→BHCFlà hình bình hành

d.Ta có :
HE⊥AB, HD⊥AC
→AEHDnội tiếp đường tròn đường kính AH
→AK⊥HK
Mà AFAF là đường kính của (O) 
→ FK⊥AK
​→ F,H,K thẳng hàng

Bài 4:
a.Ta có :
 DB, DC là tiếp tuyến của (O) 
→DB⊥OB
   DC⊥OC
→ˆOBD + ˆOCD = 90° + 90° = 180°
→ tứ giác OBDC nội tiếp

b.Ta có :
DO∩BC = M
→ OD⊥CB
→ M là trung điểm BC
Mà OB⊥BD
→ BD = √(OD^2−OB^2) = 4
Do BO⊥BD, BM⊥OD
→ΔOBD có : BO^2 = OM.OD
→OM = BO^2/OD = 1,8
→ MD = OD − OM = 3,2
    BC = 2BM = 2√(OB^2−OM^2) = 4,8
→ SBCD = 12DM.BC = 7,68cm2

c. Gọi EF là tiếp tuyến của (O) qua A
→ PQ // EF
→ ˆQPA = ˆEAB = ˆACB
→ΔABC∼ΔAQP(g.g)
→AB/AQ = AC/AP
→AB.AP=AQ.AC

d.Ta có : 
ˆPBC=ˆPAC+ACB^ (tính chất góc ngoài tam giác)
→ˆPBD+ˆDBC=ˆPAC+ˆACB
Mà ˆDBC=ˆBAC
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

→ˆPBD=ˆACB=ˆAPQ
(do ΔABC∼ΔAQPΔABC∼ΔAQP cmt)
→ˆDBP=ˆDPB→DB=DP
Tương tự: DC=DQ→DP=DQ(DB=DC)
→Dlà trung điểm PQ
Mà M là trung điểm BC , ΔABC∼ΔAQP
→AC/AP=CB/PQ=CM/PD
 có ˆACM=ˆAPD
→ΔAMC∼ΔADP  (c.g.c)
→ˆPAD=ˆMAC

Bài 5:
a.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAO+ˆMBO = 90° + 90° = 180°
→ tứ giác MAOB nội tiếp

b.Ta có :
tứ giác MBMB là tiếp tuyến của (O)
→ˆMBC=ˆMDB
 (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
→ΔMBC∼ΔMDB(g.g)
→ MB/MD = MC/MB
→MB^2 = MC.MD

Bài 1:
a.Ta có : I là trung điểm BC →OI⊥BC
→N là điểm chính giữa cung BC
→AD là phân giác ˆBAC

b.Ta có :MA là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAB = ˆMCA →ΔMAB∼ΔMCA(g.g)→
→ MA/MC = MB/MA
→ MA^2 = MB.MC
Lại có :
MA là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAB=ˆMCA
AD là phân giác ˆBAC →ˆBAD=ˆDAC
→ ˆMDA = ˆDAC + ˆBCA = ˆBAD + ˆMAB = ˆMAB
→ΔMAD cân tại M
→ MD = MA →MD^2 = MB.MC
c.Ta có :NH⊥AH,NI⊥BC,NK⊥AC
→NHBI,NIKC,NHAK  nội tiếp
→ˆBIH=ˆBNH=90° - ˆHBN=90° −ˆNCA=ˆKNC=ˆKIC
(ˆHBN=ˆNCA cùng bù ˆABN)
ˆBIH=ˆKIC  mà chúng ở vị trí đối đỉnh B,I,C  thẳng hàng
→ H,I,K thẳng hàng

Bài 2:

a.Ta có : MI⊥AI,MK⊥AK
→^AIM+^AKM = 90° + 90° = 180°
→AIMK nội tiếp

b.Ta có :
MK⊥AC, MP⊥BC
→ tứ giác MKCP nội tiếp
→^MPK=^MCK (góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
    ^MCK=^MBC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
⇒^MPK=^MBC (đpcm)
 

c.Ta có : MP⊥BC,MI⊥AB
→ tứ giác MIBP nội tiếp
→^MIP=^MBC=^MPK
^MPI=^MBI=^MCB=^MKP
→ΔMIP∼ΔMPK(g.g)
→MI/MP=MP/MK
→MP^2=MI.MK

d.Từ câu c →MI.MK.MP=MP^3
Gọi AO∩(O)=D
       AO∩BC=E
→MP≤DE
→MI.MK.MP≤DE3
Dấu = xảy ra khi M≡D ​→M=AO∩(O)

Bài 3:
a.Ta có :BD⊥AC
             CE⊥AB
→ ˆBDC = ˆBEC = 90° → BEDC nội tiếp
b.Ta có :ˆAEC=ˆADB=90°
→ ΔAEC∼ΔADB (g.g)
​→ AE/AD = AC/AB
→ AE.AB = AD.AC
c.Vì AF là đường kính của (O)
→FC//BD(cùng ⊥AC)
    CE//FB(cùng ⊥AB)
→BHCFlà hình bình hành
d.Ta có :
HE⊥AB, HD⊥AC
→AEHDnội tiếp đường tròn đường kính AH
→AK⊥HK
Mà AFAF là đường kính của (O) 
→ FK⊥AK
​→ F,H,K thẳng hàng

Bài 4:
a.Ta có : DB, DC là tiếp tuyến của (O) 
→DB⊥OB
   DC⊥OC
→ˆOBD + ˆOCD = 90° + 90° = 180°
→ tứ giác OBDC nội tiếp
b.Ta có : DO∩BC = M
→ OD⊥CB
→ M là trung điểm BC
Mà OB⊥BD
→ BD = √(OD^2−OB^2) = 4
Do BO⊥BD, BM⊥OD
→ΔOBD có : BO^2 = OM.OD
→OM = BO^2/OD = 1,8
→ MD = OD − OM = 3,2
    BC = 2BM = 2√(OB^2−OM^2) = 4,8
→ SBCD = 12DM.BC = 7,68cm2
c. Gọi EF là tiếp tuyến của (O) qua A
→ PQ // EF
→ ˆQPA = ˆEAB = ˆACB
→ΔABC∼ΔAQP(g.g)
→AB/AQ = AC/AP
→AB.AP=AQ.AC
d.Ta có : 
ˆPBC=ˆPAC+ACB^ (tính chất góc ngoài tam giác)
→ˆPBD+ˆDBC=ˆPAC+ˆACB
Mà ˆDBC=ˆBAC
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

→ˆPBD=ˆACB=ˆAPQ
(do ΔABC∼ΔAQPΔABC∼ΔAQP cmt)
→ˆDBP=ˆDPB→DB=DP
Tương tự: DC=DQ→DP=DQ(DB=DC)
→Dlà trung điểm PQ
Mà M là trung điểm BC , ΔABC∼ΔAQP
→AC/AP=CB/PQ=CM/PD
 có ˆACM=ˆAPD
→ΔAMC∼ΔADP  (c.g.c)
→ˆPAD=ˆMAC

Bài 5:
a.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAO+ˆMBO = 90° + 90° = 180°
→ tứ giác MAOB nội tiếp

b.Ta có :
tứ giác MBMB là tiếp tuyến của (O)
→ˆMBC=ˆMDB
 (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
→ΔMBC∼ΔMDB(g.g)
→ MB/MD = MC/MB
→MB^2 = MC.MD
c.Ta có:
MA ,MB là tiếp tuyến của (O)
→ MO⊥AB = H
→ MH.MO = MB^2
→ MH.MO=MC.MD
→MH/MD=MC/MO
→ΔMHC∼ΔMDO(c.g.c)
→ˆMHC=ˆMDO=ˆCDO
mà ˆMHC+ˆCHO=180°
⇒ˆCDO+ˆCHO=180°
⇒ HCDOlà tứ giác nội tiếp
→ˆOCD=ˆOHD (góc nội tiếp cùng chắn cung OD)
và có ˆMHC=ˆCDO=ˆOCD
⇒ˆMHC=ˆOHD
MàˆMHB=ˆOHB=90°
→ ^CHB = ^BHD (cùng cộng với hai góc bằng nhau ra 90°)
​→ AB là phân giác của góc CHD.