Tuyển tập đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 10 - tỉnh Hà Tĩnh - Các năm từ 1993 đến 2013

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 các năm KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC : 1992-1993 Môn Toán lớp 10 (Thời gian 180 phút – không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1: Cho x + y = 2. Tìm gtnn của biểu thức: Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Tìm gtll, gtnn của biểu thưc: với Bài 4: Cho 9 điểm A,B,C,D,M,N,P,Q,I thỏa mãn: . Chứng minh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC : 1993-1994 Môn Toán lớp 10 (Thời gian 180 phút – không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1: Chứng minh: Bài 2: Cho . Chứng minh a/ thì b/ và thì p là số nguyên tố Bài 3: Cho . Xét a, b để nghiệm bất phương trình : cũng là nghiệm của hệ: Bài 4: Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Kẻ các đường phân giác trong góc A,B,C cắt các cạnh đối diện tại . Chứng minh rằng : Bài 5: Cho đa giác đều tâm O. Chứng minh: N¨m häc 1997- 1998 M«n To¸n Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 Bµi 2: Cho vµ . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: A = (3-x)(4-y)(2x+3y). Bµi 3: Chøng minh r»ng cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng cao AH, trung tuyÕn BM vµ ph©n gi¸c CD cña tam gi¸c ABC ®ång quy lµ sinA = cosB.tanC Bµi 4: XÐt tÊt c¶ c¸c hµm sè bËc hai f(x) = ax2 + bx + c sao cho a < b vµ f(x)víi mäi x. T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc: M = Bµi 5: Cho tø gi¸c ABCD vµ E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. T×m tËp hîp ®iÓm M sao cho . N¨m häc 1999- 2000 M«n To¸n Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: Cho hµm sè f(x) = 2x4 - 4x3 +(4 - a)x2 + (a-2)x + a - a2 víi a lµ tham sè. 1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : f(x) = 0. 2. T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó f(x) víi mäi x. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N, P trªn ®êng trßn sao cho: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2. NA2 + NB2 + NC2 lín nhÊt. PA2 + PB2 + PC2 nhá nhÊt. Bµi 4: Cho f(x), g(x), h(x) lµ c¸c tam thøc bËc hai. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(g(h(x))) = 0 kh«ng thÓ cã tËp nghiÖm lµ {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8}. Bµi 5: H·y dùng ®iÓm M thuéc miÒn tam gi¸c ABC cho tríc sao cho M lµ träng t©m cña tam gi¸c t¹o bëi ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc h¹ tõ M xuèng c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC : 2001-2002 Môn Toán lớp 10 (Thời gian 180 phút – không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1: Giải phương trình : Bài 2: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn . CMR phương trình không thể có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình: Bài 4: Cho x, y là hai số dương thay đổi. Đặt . Tìm gtnn của Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến thuộc các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR: a. b. N¨m häc 2002- 2003 Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: a. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña c¸c hµm sè sau: a. b. , víi m . Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G, biÕt r»ng AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACG. §Æt BC = a, AC = b, AB = c, ®é dµi c¸c trung tuyÕn t¬ng øng víi c¸c c¹nh BC, CA, AB lµ ma, mb, mc. Chøng minh r»ng: a. . b. sinCAG + sinCBG . Bµi 4: Cho tø gi¸c låi ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O; R), M lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn ®êng trßn. §Æt S = MA2 + MB2 + MC2 + MD2. a. Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ mét h×nh ch÷ nhËt khi vµ chØ khi S lµ mét h»ng sè (khi M thay ®æi trªn ®êng trßn).b. Khi ABCD kh«ng ph¶i lµ h×nh ch÷ nhËt h·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M sao cho: S lín nhÊt; S nhá nhÊt. N¨m häc 2003- 2004 Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: . BiÕt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =3. H·y gi¶i ph¬ng tr×nh trong trêng hîp ®ã. Bµi 2: a. T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x b. Cho xy + yz + zx . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 10(x2 + y2) + z2 Bµi 3: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc vµ a . Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) = a(ax2 + bx + c)2 + b(ax2 + bx + c) + c v« nghiÖm th× ®a thøc g(x) = ax2 + bx - c cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c XYZ cã BC = a, CA = b, AB = c, YZ = x, ZX = y, XY= z liªn hÖ bëi c¸c hÖ thøc : a2 + x2 = xy+xz, b2 + y2 = yz+yx, c2 + z2 = zx+zy. a. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ tån t¹i tam gi¸c A'B'C' cã ®é dµi B'C' = a2, C'A' = b2, A'B' = c2. b. So s¸nh gãc bÐ nhÊt cña tam gi¸c ABC vµ gãc bÐ nhÊt cña tam gi¸c A'B'C'. Bµi 5: Gäi A, M lµ giao ®iÓm cña hai ®êng trßn (O; R) vµ (O'; R'). TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ (O') t¹i B vµ C ( B, C, M thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng OO'). Chøng minh r»ng: N¨m häc 2004- 2005 Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: (6 ®iÓm).Cho hµm sè (m lµ tham sè). a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó f(m) < -1. Bµi 2: (6 ®iÓm). a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = víi x; y vµ x > 1; y > 1. Bµi 3: (5 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC kh«ng c©n t¹i A cã AH; AM; AP lÇn lît lµ ®êng cao, trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c kÎ tõ A (H, P, M ). Chøng minh r»ng: PH = PM . Bµi 4: (3 ®iÓm). Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi: N¨m häc 2005- 2006 M«n To¸n Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: a.Gi¶i ph¬ng tr×nh: b. Gi¶i hÖ Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: . T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã ®êng trßn néi tiÕp t©m I c¾t trung tuyÕn BM t¹i K vµ H (H ë gi÷a B vµ K) sao cho ta lu«n cã BH= HK = KM. Chøng minh r»ng: . Bµi 4: Cho ®êng trßn (O; R) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d t¹i H. Gäi M, N lµ hai ®iÓm di ®éng trªn d sao cho (Víi k vµ k kh«ng ®æi). Tõ M, N kÎ hai tiÕp tuyÕn MA, NB ®Õn ®êng trßn (A, B lµ hai tiÕp ®iÓm). Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5: Cho c¸c sè tho· m·n ®iÒu kiÖn vµ . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = N¨m häc 2006- 2007 M«n To¸n Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (8x+7)2(4x+3)(x+1) = . b) x3 = (x2 + x - 2)+1. Bµi 2: T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: Bµi 3: Cho a, b, c . Chøng minh r»ng: (a+b+c+1)2 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC vµ K, L, M lÇn lît n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC, CA sao cho . BiÕt r»ng b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AKM, BLK, CML b»ng nhau. Chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu.Bµi 5: Cho x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x3 + y3 + z3. N¨m häc 2007- 2008 Thêi gian lµm bµi : 150phót Bµi 1 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: b. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 2: Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn vµ a > 0. BiÕt r»ng tam thøc cã 2 nghiÖm ph©n biÖt thuéc kho¶ng (0; 1). H·y t×m tam thøc cã hÖ sè a nhá nhÊt.Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC cã a< b < c, biÕt r»ng tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ ®é dµi c¸c ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: cotA + cotC = 2cotB. Bµi 5: (3®) Cho ba sè thùc x, y, z > 0 tho¶ m·n xyz=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = . N¨m häc 2008 - 2009 Thêi gian lµm bµi : 180phót Bµi 1: a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: b. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 2: Trªn mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, cho Parabol (P): y=- x2 vµ ®êng th¼ng d ®i qua ®iÓm I( 0; -1), cã hÖ sè gãc k. Gäi giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng th¼ng d lµ A, B. Gi¶ sö A, B cã hoµnh ®é lÇn lît lµ x1, x2. a. Chøng minh: 2. b. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c OAB theo k vµ t×m k ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c OAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 3: Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×, nÕu c¸c gãc A, B, C cña nã tháa m·n hÖ thøc: Bµi 4: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. T×m ®iÓm M thuéc ®êng trßn (O) sao cho ®¹i lîng P = MA2 + MB2 + MC2 - 3MD2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt? lín nhÊt?. Bµi 5: T×m ®iÒu kiÖn cña c¸c hÖ sè a, b, c ®Ó ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: §Ò thi chän häc sinh giái tØnh Hµ TÜNH 2009-2010 To¸n 10.Bµi 1. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh . b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh . Bµi 2. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña tam thøc víi . Chøng minh r»ng . Bµi 3. T×m gi¸ trÞ m ®Ó hÖ cã nghiÖm . Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AM = AB. Chøng minh r»ng . Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC. Gäi a, b, c theo thø tù lµ ®é dµi c¸c c¹nh BC, CA, AB vµ ma, mb, mc theo thø tù lµ ®é dµi c¸c ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A, B, C. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : . Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn toán lớp 10năm học 2011-2012 Câu 1a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu 2 Tam giác có độ dài 3 cạnh là và có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng: Câu 3a) Nhận dạng tam giác biết các góc của tam giác đó thỏa mãn hệ thức b) Cho hình thoi , biết đường thẳng lần lượt có phương trình và đường thẳng đi qua điểm Lập phương trình đường thẳng Câu 4 Các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu) Câu 1. a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình: Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và các đường thẳng . Viết phương trình đường tròn có tâm sao cho cắt tại và cắt tại thỏa mãn Câu4. Cho có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và . Tính và . 2. Cho a,b thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5. Cho với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên đôi một phân biệt và sao cho: . Tìm tất cả các bộ số (a;b). _____________ Hết _____________ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị không giải thích gì thêm. SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang) Câu1s Đáp án Điểm 1.a 3 điểm Điều kiện: Đặt () thì Khi đó ta có 1 (do ). 1 Với ta có Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 1 Điều kiện: 0,5 Th1: không thỏa mãn 0.5 Th2: ta có: với t=x/y t=y hay 0,5 Thay vào (2): 1 Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: 0.5 Câu2 s 3 điểm Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với 0,5 Điều kiện để phương trình (2) (ẩn ) có nghiệm là 0,5 Th1: ta có Suy ra thỏa mãn. 0,5 Th2: Điều kiện để phương trình (1) (ẩn ) không có nghiệm thuộc khoảng (*) là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc điều kiện là (B) (với là 2 nghiệm của phương trình (1)). 1 (A)(B) 0,5 Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghiệm là phương trình (1) (ẩn ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng hay (*) không xảy ra, điều kiện là Vậy tất cả các giá trị cần tìm là 0,5 3. 3 điểm Gọi hình chiếu của trên lần lượt là khi đó 0,5 Gọi là bán kính của đường tròn cần tìm (). 1 Theo giả thiết ta có: 0,5 (do ) ( do ). Vậy phương trình đường tròn cần tìm là 0.5 0.5 4.a 3 điểm Ta có: 0.5 0.5 Theo giả thiết: 05 Khi đó: 0.5 0.5 0.5 4.b 3 điểm C/M được : (1) Dấu bằng xẩy ra khi: 0.5 Áp dụng (1) ta có : 0.5 Mặt khác: (2) Mà: (3) 1 Từ (1) và (3) suy ra: .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và Vậy: Đạt được khi a=1 và . 0.5 5. 2 điểm 3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7 loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm phân biệt 0,5 Th2:và Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và ta có: m,n là nghiệm pt: và p là nghiệm pt: nên ta có: 0,5 Th3: và,khiđó hoàn toàn tương tự ta có: Do m,n,p nên tìm được 4 bộ là: (a;b)=. 0,5 Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu 1. a) Giải phương trình: . b) Gọi x là một nghiệm của phương trình Tìm các giá trị của tham số a để x đạt giá trị nhỏ nhất? giá trị lớn nhất? Câu 2. Giải hệ phương trình: . Câu 3. Giả sử và là hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên, có nghiệm chung là a. Chứng minh rằng nếu a không phải là số nguyên thì tam thức bậc hai sau luôn có nghiệm thực: . Câu 4. a) Tam giác ABC có BC = a, CA = b và Các điểm M, N được xác định bởi: Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để MC và NA vuông góc với nhau. b) Tam giác ABC có các cạnh a, b, c và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là R, r thỏa mãn đẳng thức: . . Chứng minh tam giác ABC đều Câu 5. Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh . ------------------------- HẾT ---------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………………Số báo danh :…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT - NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 6 điểm a) 3,0 điểm Đ/k . Pt đã cho tương đương với pt vì Đối chiếu với đ/k ta có x = 1 là nghiệm của pt 1,0 1,0 1,0 b) 3,0 điểm Do x0 là nghiệm của (1) nên 1,0 Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với a, pt này có nghiệm khi và chỉ khi (do ) 1,0 + Với x0 = -1 thay vào (2) và rút gọn ta được: + Tương tự, với x0 = 2 ta tìm được a = -5 Thử lại: Khi a = -2 thì min x0 = -1, khi a = -5 thì max x0 = 2 Vậy a = -2 và a = -5 là các giá trị cần tìm. 1,0 Câu 2 3điểm Giải hệ pt: Điều kiện: 0,5 Ta có: (2) , kết hợp với (1), ta được: (4) 1,0 Đặt với thì , thay x theo a vào vế phải của (4) và rút gọn, ta được: (vì ) Khi a = 1, ta được x = 3 và y = 2 (thỏa mãn điều kiện (3)) Vậy hệ phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm (3; 2) 1,0 0,5 Câu 3 3điểm Ta chứng minh a không thể là số hữu tỷ. Giả sử với và (p, q) = 1 Vì a là nghiệm của nên do đó trái giả thiết nên a không phải là số hữu tỷ. 1,0 Từ giả thiết suy ra . Lấy (1) trừ (2) theo từng vế và biến đổi, ta được: (3) Do a không phải là số hữu tỷ nên (3) xảy ra khi và chỉ khi và 1,0 Khi đó tam thức bậc hai trở thành . Vì có nghiệm nên do đó có suy ra luôn có nghiệm thực, đpcm. - Trường hợp HS giải: Khi a là nghiệm chung của mà chứng minh được f(x) có nghiệm thì cho điểm tối đa tương ứng. 1,0 Câu 4 6điểm a) 3 điểm Ta có: 1.0 Giải hệ phương trình (3), (4) với 2 ẩn là , ta được: 1,0 = 0 (5) (do 4a +3b>0) Vậy a, b thỏa mãn hệ thức (5) thì AN và CM vuông góc với nhau. 1,0 b) 3 điểm. . (1) Gọi S là diện tích, p là nửa chu vi của tam giác ABC, ta có: . Suy ra: . Sử dụng công thức , ta có: = 1,0 Vậy (1) + = 4 = 4 1,0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dương, ta được: = 6abc Dấu “=” xảy ra, tức là ta có (2) khi và chỉ khi Vậy tam giác ABC là tam giác đều. 1,0 Câu 5 2,0điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có: Mà Suy ra Do đó ta có: (vì ). Điều phải chứng minh. 0,5 1,0 0,5 _____________ Hết ___________ Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu 1. a) Giải phương trình . b) Giải hệ phương trình . Câu 2.Tìm tất cả các giá trị của để hệ phương trình có nghiệm với . Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác . Gọi lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết , phương trình đường thẳng là và điểm có hoành độ âm. Câu 4. a) Cho tam giác có trọng tâm . Chứng minh rằng nếu là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì . b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 5. Kí hiệu E là tập hợp gồm tất cả các tam thức bậc hai có , . Tìm điều kiện cần và đủ đối với các số để với mọi thuộc E ta đều có cũng thuộc E. ------------HẾT ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay, Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ……………………. Câu Nội dung Điểm Điều kiện . Đặt Ta có phương trình Do nên phương trình (*) vô nghiệm. Với Vây phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Điều kiện Từ pt thứ nhất ta đưa về * Với , thay vào (2) có : vô nghiệm (do ) * Với y = 2x, thay vào (2) ta có (1) Nhận thấy Nên pt(1) có nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm Với , hệ đã cho tương đương với Đặt Ta có . Tương tự với Ta có hệ Từ đó suy ra a và b là các nghiệm của phương trình (1) Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn Xét hàm số trên ta có bảng biến thiên t 4 f(t) 3 Dựa vào BBT ta có . Nhận thấy tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính BC. Gọi M là trung điểm BC ta có Phương trình đường trung trực của HK là Tọa độ M là nghiệm hệ Vậy Gọi . Ta có: Suy ra hoặc (loại) Phương trình đường thẳng AC là Phương trình đường thẳng AB là Suy ra Do AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác GAB nên . Lại có Suy ra tứ giác NGMB nội tiếp Theo tính chất của phương tích ta có (định lý sin trong tam giác) (đpcm). Ta có Dấu bằng xảy ra khi . Vậy . Điều kiện cần: Xét thuộc E. Khi đó thuộc E với mọi Suy ra và . Lấy thì Vậy có dạng Từ đó suy ra Vậy đk cần để g(x) thuộc E là (1) Điều kiện đủ: Với đk (1) ta có Do thuộc E nên . Khi đó có nên thuộc E. Kết luận: đk cần và đủ để g(x) thuộc E là . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Giải hệ phương trình b) Giải phương trình . Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: . Câu 3.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là điểm thuộc đoạn thẳng AC sao cho . Đường thẳng DM có phương trình và . Xác định tọa độ điểm A. Câu 4. a) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao đồng quy tại H . Biết và Tính tích và diện tích tam giác ABC.b) Cho là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng . Câu 5. Tập hợp X có phần tử được chia thành các tập con đôi một không giao nhau. Xét quy tắc chuyển phần tử giữa các tập như sau: nếu A, B là các tập con của X và số phần tử của A không nhỏ hơn số phần tử của B thì ta được phép chuyển từ tập A vào tập B số phần tử bằng số phần tử của tập B. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước chuyển theo quy tắc trên, ta nhận được tập X. ------------HẾT------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2016-2017- MÔN TOÁN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 3 trang) Lưu ý: Mọi cách giải khác gọn và đúng đều cho điểm tương ứng. Câu Nội dung Điểm Câu 1a 3 điểm Nhận xét: không thoả mãn. Với , ta có hệ Đặt , hệ trở thành Do >0, suy ra từ (1) ta có Thay vào (2) ta có Với , suy ra Với , suy ra ; Với , suy ra Câu 1b 3 điểm Câu 2 3 điểm Điều kiện (3) Nhân hai vế của (3) với , ta suy ra: Do , suy ra , từ đó ta có Thay vào phương trình (3) ta thấy thỏa mãn Kết luận: Tập nghiệm của phương trình Điều kiện . Chia hai vế của phương trình cho , ta có . Đặt , Ta có bất phương trình Do , suy ra . Ta có , suy ra , vậy t 0 1 1 0 Xét hàm số trên Từ bảng biến thiên suy ra Nếu HS thiếu mà vẫn kết luận thì trừ 1,0 điểm của câu này HS có thể đặt , xét TH1 , suy ra , khi đó vô nghiệm. TH2 , suy ra , gọi là nghiệm, . Nhận xét , suy ra có nghiệm thuộc khi và chỉ khi . Suy ra Câu 3 3 điểm Câu 4a 3 điểm -6985045085 E là hình chiếu của N trên MD, suy ra đường thẳng , suy ra Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông. Suy ra(1) , Ta có (2). Tương tự ta có (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra tam giác NMD vuông cân tại N. Gọi tọa độ điểm , ta có Suy ra hoặc Trường hợp 1. . Do E là trung điểm MD, suy ta , Ta có Chứng minh ; Ta có Trường hợp 2. , E là trung điểm MD, suy ta Ta có Từ mà Ta có Mặt khác ; Suy ra (1) (2) Từ (1) và (2) ta có Do Ta có Suy ra Câu 4b 3 điểm Trong ba số luôn có 2 số có tích không âm, giả sử . Suy ra Ta chứng minh Dấu = xảy ra khi Câu 5 2 điểm Do tập X có số phần tử chẵn nên số tập con có phần tử lẻ là chẵn. Giả sử có 2k tập con có số phần tử lẻ, chia 2k tập trên thành k cặp, rồi thực hiện quy tắc chuyển như trên ta sẽ đưa về các tập con có số phần tử chẵn. Khi đó ta đưa về trường hợp các tập con đều có số phần tử chẵn. Nếu , bài toán được chứng minh. Xét . Do , suy ra số tập con có số phần tử chẵn nhưng không chia hết cho 4 phải chẵn. Giả sử có 2m tập con có số phần tử chẵn nhưng không chia hết cho 4. Chia chúng thành m cặp rồi thực hiện phép chuyển phần tử theo quy tắc trên ta sẽ thu được các tập con có số phần tử chia hết cho 4. Thực hiện tương tự như trên, sau hữu hạn bước ta sẽ được tập con có số phần tử chia hết cho , khi đó ta nhận được tập X Học sinh có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n