Chứng minh rằng hệ phương trình 2 = y+ y có nghiệm duy nhất

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình 2 = y+ y có nghiệm duy nhất với mọi
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình
a2
có nghiệm duy nhất với mọi
a?
2y = x +
a + 0.
Điều kiện: ¤ 0.
Từ hai phương trình của hệ + x, y > 0.
S 2z²y = y? + a²
12y?x = a² + a²
Не
= 2ay (x-y) = y²q²
phương
trình
+ (x-y) (2xy+x + y) = 0 + x = y (do x, y > 0= 2xy + x +y > 0).
Thay vào hệ phương trình, ta được: a² = 2x³_æ² = f (x) (*).
Xét hàm số: f (æ) = 2x³-æ² với æ > 0.
- f (æ) (*).
Ta có: f' (x) = 2æ (3x–1) → f' (x) = 0 + x = .
Mà f (0) = 0, ƒ (G) =- và a? > 0 nên phương trình (*) chỉ có duy nhất một
27
nghiệm.
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi a + 0.