Giải các phương trình sau

----- Nội dung ảnh -----
A. $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$.

B. $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$.

C. $3 \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$.

D. $\sin 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$.

---

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho biết $\frac{1}{3} \pi < \alpha < \pi$. Khi đó:
a) $\cos^2 \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{3}$
b) $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{9}$
c) $\cos 2\alpha = \frac{7}{9}$
d) $\cot 2\alpha = \frac{7\sqrt{2}}{8}$

Câu 2. Cho biết $\alpha < 0, \cos \alpha < 0$
a) $\sin \alpha = \sqrt{10}$
b) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
c) $\tan \alpha = \frac{3}{4}$
d) $\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{48 - \sqrt{3}}{11}$

Câu 3. Cho biết $\sin \alpha = -\frac{12}{13}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Khi đó:
a) $\cos \alpha > 0$
b) $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$
c) $\tan \alpha = -\frac{12}{5}$
d) $\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \frac{5 - \sqrt{6}}{26}$

Câu 4. Cho biết $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$. Khi đó:
a) $\sin x > 0$
b) $\cos x = \sqrt{6}$
c) $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
d) $\cos \left( x + \frac{3}{2} \right) = -\frac{3 - \sqrt{3}}{8}$

Câu 5. Cho biết $\tan \alpha = \frac{8}{15}, \tan \beta = \frac{5}{12}$, và $a, b$ là các góc nhọn. Khi đó:
a) $\tan \alpha + \beta = \frac{17}{14}$
b) $\sin (a + b) = \frac{21}{221}$
c) $\cos(a + b) = \frac{14}{22}$
d) $\cot(a + b) = \frac{17}{14}$
e) $\cos(x - 30^\circ) = \frac{-3 - \sqrt{6}}{6}$