Giải các phương trình sau

----- Nội dung ảnh -----
A. \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \).

B. \( \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) \).

C. \( 3 \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \).

D. \( \sin 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \).

---

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho biết \( \frac{1}{3} \pi < \alpha < \pi \). Khi đó:
a) \( \cos^2 \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{3} \)
b) \( \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{9} \)
c) \( \cos 2\alpha = \frac{7}{9} \)
d) \( \cot 2\alpha = \frac{7\sqrt{2}}{8} \)

Câu 2. Cho biết \( \alpha < 0, \cos \alpha < 0 \)
a) \( \sin \alpha = \sqrt{10} \)
b) \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
c) \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \)
d) \( \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{48 - \sqrt{3}}{11} \)

Câu 3. Cho biết \( \sin \alpha = -\frac{12}{13}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). Khi đó:
a) \( \cos \alpha > 0 \)
b) \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \)
c) \( \tan \alpha = -\frac{12}{5} \)
d) \( \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \frac{5 - \sqrt{6}}{26} \)

Câu 4. Cho biết \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} \). Khi đó:
a) \( \sin x > 0 \)
b) \( \cos x = \sqrt{6} \)
c) \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
d) \( \cos \left( x + \frac{3}{2} \right) = -\frac{3 - \sqrt{3}}{8} \)

Câu 5. Cho biết \( \tan \alpha = \frac{8}{15}, \tan \beta = \frac{5}{12} \), và \( a, b \) là các góc nhọn. Khi đó:
a) \( \tan \alpha + \beta = \frac{17}{14} \)
b) \( \sin (a + b) = \frac{21}{221} \)
c) \( \cos(a + b) = \frac{14}{22} \)
d) \( \cot(a + b) = \frac{17}{14} \)
e) \( \cos(x - 30^\circ) = \frac{-3 - \sqrt{6}}{6} \)