౨ৎ Min Yuu ˚࿔

Chàng Cô Đơn

Câu 21: Cho phương trình �2+�+2�−4=0x2+x+2m−4=0 (với �x là ẩn, �m là tham số). Tìm �m để phương trình có hai nghiệm �1,�2x1​,x2​ thỏa mãn �12+�22=20x12​+x22​=20.

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: Phương trình bậc hai ��2+��+�=0ax2+bx+c=0 có hai nghiệm khi và chỉ khi Δ=�2−4��≥0Δ=b2−4ac≥0. Trong trường hợp này, �=1a=1, �=1b=1, �=2�−4c=2m−4. Vậy, Δ=12−4(1)(2�−4)=1−8�+16=17−8�Δ=12−4(1)(2m−4)=1−8m+16=17−8m Để phương trình có hai nghiệm, Δ≥0Δ≥0, tức là: 17−8�≥0⇒8�≤17⇒�≤17817−8m≥0⇒8m≤17⇒m≤817​

2. Áp dụng định lý Viète: Nếu phương trình có hai nghiệm �1x1​ và �2x2​, theo định lý Viète, ta có: �1+�2=−��=−1x1​+x2​=−ab​=−1 �1�2=��=2�−4x1​x2​=ac​=2m−4

3. Tính �12+�22x12​+x22​: Ta có: �12+�22=(�1+�2)2−2�1�2x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​ Thay các giá trị từ định lý Viète vào, ta được: �12+�22=(−1)2−2(2�−4)=1−4�+8=9−4�x12​+x22​=(−1)2−2(2m−4)=1−4m+8=9−4m

4. Giải phương trình �12+�22=20x12​+x22​=20: Theo đề bài, �12+�22=20x12​+x22​=20, vậy: 9−4�=20⇒−4�=11⇒�=−1149−4m=20⇒−4m=11⇒m=−411​

5. Kiểm tra điều kiện: Ta cần kiểm tra xem giá trị �=−114m=−411​ có thỏa mãn điều kiện �≤178m≤817​ hay không. −114=−228−411​=−822​ Vì −228≤178−822​≤817​, nên giá trị �=−114m=−411​ thỏa mãn.

Vậy, �=−114m=−411​ là giá trị cần tìm.