Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau: \[\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) + \overrightarrow {CB} \]; \[\overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \].

Đáp án đúng là C

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB} \]

\[ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]

\[ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]

\[ = \overrightarrow {AD} \]

Do đó \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\] = 1.

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DA} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} \].

Do đó \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

\[ \Rightarrow \] AC² = 1² + 1²

\[ \Rightarrow \] AC² = 2

\[ \Rightarrow \] AC = \[\sqrt 2 \] (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \].

Vậy \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \left| {\overrightarrow a } \right|\].