Cho ∆ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B và góc C cắt cạnh AC, AB lần lượt ở D và E. Đoạn thẳng có độ dài bằng đoạn thẳng BE là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ∆ABC cân tại A (giả thiết) suy ra ABC^=ACB^ (tính chất)

BD là tia phân giác góc B nên EBD^=DBC^=12ABC^

CE là tia phân giác góc C nên DCE^=ECB^=12ACB^

Do đó EBD^=DBC^=DCE^=ECB^

Xét ∆BEC và ∆CDB có:

ABC^=ACB^

BC là cạnh chung

ECB^=DBC^ (chứng minh trên)

Suy ra ∆BEC = ∆CDB (g.c.g)

Do đó BE = CD (hai cạnh tương ứng)

Mà BE + EA = AB; CD + DA = AC

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra EA = DA ⇒ ∆AED cân tại A ⇒ AED^=ADE^ (tính chất)

Mà AED^+ADE^+BAC^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra AED^=180°−BAC^2 (1)

Có ABC^=ACB^ mà ABC^+ACB^+BAC^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra ABC^=180°−BAC^2 (1)

Từ (1) và (2) suy ra AED^=ABC^ mà hai góc đồng vị nên ED // BC.

Suy ra EDB^=DBC^ (hai góc so le trong)

Mà EDB^=DBC^ (chứng ninh trên)

Suy ra EDB^=EBD^

Do đó tam giác EBD cân tại E (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra EB = ED

Vậy BE = CD = ED.