Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 10\), hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^n}\) bằng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.

Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\)

\( \Leftrightarrow \)n² + n – 20 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = – 5 hoặc n = 4

Kết hợp với điều kiện n = 4.

Ta có: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 5a²b² + 4ab³ + b⁴

Thay a = x³; b = \(\frac{2}{x}\) vào công thức ta có:

\({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4{\left( {{x^3}} \right)^3}.\left( {\frac{2}{x}} \right) + 5.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)

\( = {x^{12}} + 8.{x^8} + 20.{x^4} + 32 + \frac{{{x^4}}}\)

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển là bằng 0.