Cho hàm số y = x² – 2x – 2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất là:

Đáp án đúng là A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² – 2x – 2 = x + m (1)

⇔ x² – 3x – 2 – m = 0

Ta có: ∆ = (– 3)² – 4.1.(– 2 – m) = 17 + 4m

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 17 + 4m > 0 ⇔ m > −174.

Gọi x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi – et ta được: x1+x2=3x1.x2=−2−m.

Đặt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂)

⇒ OA = x12+y12 ⇒ OA² = x12+y12=x12+x1+m2=2x12+2mx1+m2

⇒ OB = x22+y22 ⇒ OB² = x22+y22=x22+x2+m2=2x22+2mx2+m2.

⇒ OA² + OB² = 2x12+2mx1+m2+2x22+2mx2+m2 

= 2x12+x22+2mx1+x2+2m2

= 2x1+x22−4x1x2+2mx1+x2+2m2

= 2.32−4−2−m+2m.3+2m2

= 2m² + 10m + 26

= 2(m + 52)² + 272 ≥ 272

Vậy OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất bằng 272 khi m = −52.