Biết phương trình \({9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2{\rm{x}} - 1}}\) có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2{\rm{x}} - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {9^x} + \frac{{{9^x}}}{3} = 2\sqrt 2 {.2^x} + \sqrt 2 {.2^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{3}{.9^x} = 3\sqrt 2 {.2^x}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{2}} \right)^x} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\)

\( \Leftrightarrow x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}\frac{{9\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}\frac{{9\sqrt 2 }}{4}\)

\( \Rightarrow P = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}\frac{{9\sqrt 2 }}{4} + \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}\left( {\frac{{9\sqrt 2 }}{4}{\rm{\;}} \cdot \sqrt 2 } \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{9}{2}}}\frac{9}{2} = 1\)

Vậy ta chọn đáp án B.