Cho hình nón có đường cao h = 5a và bán kính đáy r = 12a. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn theo dây cũng có độ dài 10a. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình nón đã cho.

Đáp án đúng là: C

Gọi S là đỉnh của hình nón và O là tâm của đường tròn đáy

Giả sử mặt phẳng (α) cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Theo giả thiết ta có: SO = 5a, OA = OB = 12a và AB = 10a

Gọi M là trung điểm của AB

Suy ra \(MA = MB = \frac{2} = \frac{{10{\rm{a}}}}{2} = 5{\rm{a}}\)

Tam giác OAB cân tại O có OM là trung tuyến

Suy ra OM là đường cao. Hay OM ⊥ AB

Vì tam giác AOM vuông tại M nên \(O{M^2} = O{A^2} - M{A^2} = 144{{\rm{a}}^2} - 25{{\rm{a}}^2} = 119{{\rm{a}}^2}\)

Vì tam giác SOM vuông tại O nên \[{\rm{S}}M = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {25{{\rm{a}}^2} + 119{{\rm{a}}^2}} = 12{\rm{a}}\]

Tam giác SAB cân tại S có SM là trung tuyến

Suy ra SM là đường cao

Do đó diện tích tam giác SAB là \[S = \frac{1}{2}SM.AB = \frac{1}{2}.12{\rm{a}}.10{\rm{a}} = 60{a^2}\]

Vậy ta chọn đáp án C.