Biết số phức z=x+yix,y∈ℝ, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z=z¯+4−3ivà P=z+1−i+z−2+3i biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P=x+2y.

Chọn A .Theo giả thiết z=z¯+4−3i⇔x+yi=x+4−y+3i⇔x2+y2=x+42+y+32⇔x2+y2=x2+8x+16+y2+6y+9⇔8x+6y+25=0. Ta có P=x+12+y−12+x−22+y+32Xét điểm E−1;1; F2;−3 và Mx;y. Khi đó, P=ME+MF.Bài toán trở thành tìm điểm M∈Δ:8x+6y+25=0 sao cho ME+MF đạt giá trị nhỏ nhất.Vì 8xE+8yE+25.8xF+8yF+25>0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆.Gọi E' là điểm đối xứng với E qua ∆Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT n→EE'=u→Δ=3;−4 nên có phương trình 3x+1−4y−1=0⇔3x−4y+7=0Gọi H là giao điểm của EE' và ∆. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3x−4y=−78x+6y=−25⇔x=−7125y=−1950 suy ra H−7125;−1950E' đối xứng với E qua H nên xE'=−11725yE'=−4425.Ta có ME+MF=ME'+MF≥E'F.Dấu bằng xảy ra ⇔M là giao điểm của E'F và đường thẳng ∆Đường thẳng EF' đi qua điểm F2;−3 và có VTPT n→EE'=31;167 có phương trình 31x−2+167y+3=0⇔ 31x+167y+439=0Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 31x+167y=−4398x+6y=−25⇔x=−6750y=−11950Vậy P=x+2y=−6110.