Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Người ta dựng tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng đường cao của tam giác ABC; dựng tam giác đều A2B2C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1B1C1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều ABC, A1B1C1, A2B2C2,… bằng 243 thì a bằng:

Lời giải

Chọn C

Ta có độ dài đường cao của tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a là 2a32=a3 nên tam giác A1B1C1 có cạnh bằng a3. Do đó hai tam giác ABC và A1B1C1 dồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là .

Suy ra SA1B1C1SABC=k2=34⇒SA1B1C1=34SABC.

Tương tự ta có SA2B2C2=34SA1B1C1, SA3B3C3=34SA2B2C2,…

Nên dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=34 và số hạng đầu SABC=2a234=a23.

Suy ra tổng diện tích của tất cả các tam giác đều ABC, A1B1C1, A2B2C2,… bằng

S=SABC1−q=a231−34=4a23.

Ta có 4a23=243⇔a=6.