Cho biểu thức (2 + x)ⁿ, biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\). Khi đó số hạng của x³ trong khai triển biểu thức (2 + x)ⁿ là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)

⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100

⇔ n(n – 1)(n – 2 + 2) = 100

⇔ (n² – n)n = 100

⇔ n³ – n² – 100 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn).

Khi đó ta có khai triển (2 + x)⁵.

(2 + x)⁵

= 2⁵ + 5.2⁴.x + 10.2³.x² + 10.2².x³ + 5.2.x⁴ + x⁵

= 32 + 80x + 80x² + 40x³ + 10x⁴ + x⁵

Vậy số hạng của x³ trong khai triển biểu thức (2 + x)⁵ là 40x³.

Do đó ta chọn phương án C.