Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = 2\sin t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]. Ta có \[\cos t > 0\] và \[dx = 2\cos tdt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \] (vì \[\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]).

Suy ra \[I = 2\int {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = 2t - \sin 2t + C\]

Từ \[x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\] và \[\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\]

Vậy \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Chọn D.