Trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \[{\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{12}}\] (với \[x \ne 0\]), tìm hệ số của số hạng chứa \[{x^3}.\]

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \]

Cách giải:

\[{\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}{{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^{12 - 3k}}} \left( {0 \le k \le 12,k \in \mathbb{N}} \right).} \]

Số hạng chứa \[{x^3}\] ứng với \[12 - 3k = 3 \Leftrightarrow 3k = 9 \Leftrightarrow k = 3{\rm{ }}\left( {tm} \right).\]

Vậy hệ số của số hạng chứa \[{x^3}\] là \[C_{12}^3{.2^3}.\]