Cho tứ diện SABC có \(SA = 4a\) và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC vuông tại B, có \[AB = a,{\rm{ }}BC = 3a\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng

Đáp án B

Phương pháp:

- Xác định tâm mặt cầu.

- Tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\)

Cách giải:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

IO là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\)

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác SAC vuông tại A \( \Rightarrow IA = IS = IC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và bán kính mặt cầu \(R = \frac{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại B \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10} \)

\(\Delta SAC\) vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} a} \right)}^2}} = a\sqrt {26} \)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {a\sqrt {26} } \right)^2} = 104\pi {a^2}\)