Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, lấy I là trung điểm AC. Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và HC. Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được AI=CI=HI=12AC.

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên KDI^=HKD^ (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên HDK^=IKD^ (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

HKD^=KDI^; KD là cạnh chung; HDK^=IKD^

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra KDH^=ICD^ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.