Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx - 1\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\)?

Đáp án đúng là: A

Ta có \(y' = {x^2} + 2x - m\).

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx - 1\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\) khi phương trình \(y' = 0\) chỉ có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\).

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = m\) (*)

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\) khi \(0 < m < 24\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;23} \right\}\).

Vậy có 23 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.