Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x - y + z - 4 = 0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)² =16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:

Chọn A

Gọi  là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Theo đề bài ta có mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (α): x - y + z - 4 = 0 nên ta có phương trình a - b + c = 0 ⇔ b = a + c

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0;1;2) và có véc tơ pháp tuyến n →=a; a+c; c là

ax + (a + c)(y - 1) + c(z - 2) = 0

Khoảng cách từ tâm I (3;1;2) đến mặt phẳng (P) là 

Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) ta có r²=16-h² ;  r nhỏ nhất khi h lớn nhất.

Nên h =921+ca+c2a2≤9.23=6

Dấu “=” xảy ra khi a = -2c. => một véc tơ pháp tuyến là

=> phương trình mặt phẳng (P) là 2x + y - z + 1 = 0.

Vậy tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là: