Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z-3-2i| ≤ 1|w + 1 + 2i| ≤ |w - 2 - i|. Tìm gía trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = |z-w|.

Đáp án C

Đặt A(3;2), B(−1;−2), C(2;1). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diến của z, w.

Vì |z−3−2i| ≤ 1  nên tập hợp điểm biểu diễn của z trên hệ trục Oxy là hình tròn tâm A bán kính 1.

Vì |w+1+2i| ≤ |w−2−i|  nên tập hợp điểm biểu diễn của w trên hệ trục Oxy là nửa mặt phẳng bờ d chứa B và đường thẳng d. Trong đó d là trung trực của đoạn thẳng BC.

P = |z−w| = MN|, Pmin=MNmin

Dễ dàng kiểm tra được A, B, C thẳng hàng và MN ngắn nhất khi MN trùng với M₀N₀

Trong đó, N₀: trung điểm của BC, M₀: giao của AB và đường tròn (A;1).

Độ dài đoạn M₀N₀ = d(A;d) − R = d(A;d) − 1

Phương trình đường thẳng d có:

N₀ là trung điểm BC ⇒ N₀12;-12

BC→=(3;3) ⇒  d có 1 VTPT là (1;1)

Phương trình đường thẳng d: 1x-12+1y-12 = 0 ⇔ x+y = 0

d(A;d) = 3+212+12=52 ⇒ M0N0=52-1=52-22

Vậy, Pmin=52-22