Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x=x0 thì f(x) liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x=x0thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó. (3) Nếu f(x) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó. Trong ba câu trên:

Đáp án A

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x=x0thì f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x=x0 thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm f(x)=x ta có D= R nên hàm số f(x) liên tục trên R.

Nhưng ta có limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+x-0x-0=limx→0+x-0x-0=1limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-x-0x-0=limx→0--x-0x-0=-1

Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f(x)  không liên tục tại x=x0 thì f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.