Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (a>x>0) . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

Lời giải:

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là  a−x

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn:  2πr=x⇒r=x2π

Do đó diện tích hình tròn là:  S1=π.r2=x24π

Chu vi hình vuông là a−x⇒ cạnh hình vuông là:  a−x4

Do đó diện tích hình vuông :  S2=a−x42

Tổng diện tích hai hình:

S=x24π+a−x42=4x2+πa−x216π=4+π.x2−2aπx+πa216π

Xét hàm số Sx=4+π.x2−2aπx+πa216π ta có  

Cho S'x=0⇔4+πx−aπ=0⇔x=aπ4+π. Ta có BBT như sau:

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại  x=aπ4+π

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x=aπ4+π

Đáp án cần chọn là: C