Hàm số y=mx4+m+3x2+2m−1 chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi

Đáp án A

+ Với m = 0 thì ta có hàm số y=3x2−1 có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên ⇒ hàm số có điểm cực tiểu x = 0.

+ Với m≠0 ta có hàm trùng phương y=mx4+(m+3)x2+2m−1

⇒y'=4mx3+2(m+3)x=x4mx2+2m+6; y''=12mx2+2(m+3)

Xét phương trình y'=0⇔x4mx2+2m+6⇔x=0x2=−m−32m 2

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 duy nhất . hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0.

⇔−m−32m≤0⇔m+32m≥0⇔m≤−3m>0

Với m > 0 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và y''0=2m+3>0, do đó x = 0 điểm cực tiểu của hàm số (loại)

Với m < - 3 thì y''0=2m+3<0, do đó x = 0 là điểm cực đại (nhận)

Với m = - 3 thì y'=−12x3=0⇔x=0 và y’ đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x = 0

Do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số (nhận)

Vậy m≤−3