Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số fx=−x3+x+a3+x+b3 luôn đồng biến trên khoảng−∞;+∞ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2+b2−4a−4b+2.

Đáp án B

Ta có: f'x=−3x2+3x+a2+3x+b2=3x2+6a+bx+3a2+3b2 

Để hàm số đồng biến trên −∞;+∞ thì f'x≥0∀x∈−∞;+∞ 

⇔3x2+6a+bx+3a2+3b2≥0∀x∈ℝ⇔x2+2a+bx+a2+b2≥0∀x∈ℝ⇔Δ'=a+b2−a2+b2≤0⇔2ab≤0⇔ab≤0 

TH1:  b=0⇒P=a2−4a+2=a−22−2≥−21

TH2: a>0,b<0⇒P=a−22+b2+−4b−2>−22 

Từ (1) và (2) ⇒Pmin=−2 khi a=0 hoặc b=0.