Cho tứ diện ABCD có AB = x, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 2. Gọi S là diện tích tam giác ABC, h là khoảng cách từ D đến mp(ABC).Với giá trị nào của x thì biểu thức V=13S.h đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án B

Gọi K là trung điểm của AB, do ∆CAB và ∆DAB là hai tam giác cân chung cạnh đáy AB nên CK⊥ABDK⊥AB⇒AB⊥CDK

Kẻ DH⊥CK ta có DH⊥ABC

Vậy V=13S.h=1312CK.AB.DH=1312CK.DH.AB

Suy ra V=13AB.SΔKDC

Dễ thấy ΔCAB=ΔDAB⇒CK=DK  hay  ΔKDC cân tại K. Gọi I là trung điểm CD, suy ra KI⊥CD và KI=KC2−CI2=AC2−AK2−CI2=4−x24−1=1212−x2

Suy ra SΔKDC=12KI.CD=1212−x2

Vậy V=16x12−x2≤16.x2+12−x22=1. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=12−x2  hay  x=6